2. 考研
  3. 设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O，A的秩r(A)=2． (1)求A的全部特征值； (2)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．

设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O，A的秩r(A)=2． (1)求A的全部特征值； (2)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．

admin2021-01-25  96
问题 设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O，A的秩r(A)=2．
(1)求A的全部特征值；
(2)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．
选项
答案(1)设λ为A的一个特征值，对应的特征向量为α，则Aα=λα，α≠0；A2α=μ2α． 于是(A2+2A)α=(λ2+2λ)α 由条件A2+2A=O，推知(λ2+2λ)α=O 又由于α≠O，故有λ2+2λ=0 解得λ=－2，λ=0 因为实对称矩阵A必可对角化，且r(A)=2，所以 [*] 因此，矩阵A的全部特征值为λ1=λ2=－2，λ3=0． (2)1 矩阵A+kE仍为实对称矩阵，由(1)知A+kE的全部特征值为：－2+k，－2+k，k．于是，当k＞2时，矩阵A+kE的全部特征值都大于零，此时，矩阵A+kE为正定矩阵． 2 实对称矩阵必可对角化，故存在可逆矩阵P，使得 P－1AP [*] 于是有 P－1(A+kE)P－1AP+kE [*] 因此，由A+kE的相似对角矩阵即知A+kE的全部特征值为k－2，k－2，k．以下同解1． 3 实对称矩阵必可用正交矩阵化为对角矩阵，故存在正交矩阵P，使 P－1AP=P－1AP [*] 从而有P－1(A+kE)P=PT(A+kE)P [*] 即A+kE与矩阵D合同，因合同的矩阵有相同的正定性，故A+kE为正定矩阵[*]D为正定矩阵[*]D的各阶顺序主子式都大于零[*]k－2＞0，(k－2)2＞0，(k－2)2k＞0[*]k＞2，因此，当k＞2时，A+kE为正定矩阵．
解析
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考研数学三

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