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设A为3阶实对称矩阵,且满足条件A2+2A=O,A的秩r(A)=2. (1)求A的全部特征值; (2)当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵.
设A为3阶实对称矩阵,且满足条件A2+2A=O,A的秩r(A)=2. (1)求A的全部特征值; (2)当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵.
admin
2021-01-25
40
问题
设A为3阶实对称矩阵,且满足条件A
2
+2A=O,A的秩r(A)=2.
(1)求A的全部特征值;
(2)当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵.
选项
答案
(1)设λ为A的一个特征值,对应的特征向量为α,则Aα=λα,α≠0;A
2
α=μ
2
α. 于是(A
2
+2A)α=(λ
2
+2λ)α 由条件A
2
+2A=O,推知(λ
2
+2λ)α=O 又由于α≠O,故有λ
2
+2λ=0 解得λ=-2,λ=0 因为实对称矩阵A必可对角化,且r(A)=2,所以 [*] 因此,矩阵A的全部特征值为λ
1
=λ
2
=-2,λ
3
=0. (2)1 矩阵A+kE仍为实对称矩阵,由(1)知A+kE的全部特征值为:-2+k,-2+k,k.于是,当k>2时,矩阵A+kE的全部特征值都大于零,此时,矩阵A+kE为正定矩阵. 2 实对称矩阵必可对角化,故存在可逆矩阵P,使得 P
-1
AP [*] 于是有 P
-1
(A+kE)P
-1
AP+kE [*] 因此,由A+kE的相似对角矩阵即知A+kE的全部特征值为k-2,k-2,k.以下同解1. 3 实对称矩阵必可用正交矩阵化为对角矩阵,故存在正交矩阵P,使 P
-1
AP=P
-1
AP [*] 从而有P
-1
(A+kE)P=P
T
(A+kE)P [*] 即A+kE与矩阵D合同,因合同的矩阵有相同的正定性,故A+kE为正定矩阵[*]D为正定矩阵[*]D的各阶顺序主子式都大于零[*]k-2>0,(k-2)
2
>0,(k-2)
2
k>0[*]k>2,因此,当k>2时,A+kE为正定矩阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Jfx4777K
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考研数学三
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