已知函数f(x，y)满足=2(y+1)，且f(y，y)=(y+1)2－(2－y)lny，求曲线f(x，y)=0所围成的图形绕直线y=－1旋转所成旋转体的体积。

admin2018-04-14 53

问题已知函数f(x，y)满足

=2(y+1)，且f(y，y)=(y+1)²－(2－y)lny，求曲线f(x，y)=0所围成的图形绕直线y=－1旋转所成旋转体的体积。

选项

答案因为[*]=2(y+1)，所以有f(x，y)=y²+2y+φ(x)，其中φ(x)为待定函数。又因为f(y，y)=(y+1)²－(2－y)lny=y²+2y+1－(2－y)lny，则φ(y)=1－(2－y)lny，从而 f(x，y)=y²+2y+1－(2－x)lnx=(y+1)²－(2－x)lnx。令f(x，y)=0，可得(y+1)²=(2－x)lnx，当y=－1时，得x=1或x=2，从而所求的体积为 V=π∫₁²(y+1)²dx=π∫₁²(2－x)lnxd(2x－[*]) =π[2x－[*])lnx]|₁¹－π∫₁²(2－[*])dx =π2ln2－π(2x－[*])|₁²=πln2－π．5／4=π(2ln2－[*])。

解析

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