已知函数f(x,y)满足=2(y+1),且f(y,y)=(y+1)2-(2-y)lny,求曲线f(x,y)=0所围成的图形绕直线y=-1旋转所成旋转体的体积。

admin2018-04-14  48

问题 已知函数f(x,y)满足=2(y+1),且f(y,y)=(y+1)2-(2-y)lny,求曲线f(x,y)=0所围成的图形绕直线y=-1旋转所成旋转体的体积。

选项

答案因为[*]=2(y+1),所以有f(x,y)=y2+2y+φ(x),其中φ(x)为待定函数。 又因为f(y,y)=(y+1)2-(2-y)lny=y2+2y+1-(2-y)lny,则φ(y)=1-(2-y)lny,从而 f(x,y)=y2+2y+1-(2-x)lnx=(y+1)2-(2-x)lnx。 令f(x,y)=0,可得(y+1)2=(2-x)lnx,当y=-1时,得x=1或x=2,从而所求的体积为 V=π∫12(y+1)2dx=π∫12(2-x)lnxd(2x-[*]) =π[2x-[*])lnx]|11-π∫12(2-[*])dx =π2ln2-π(2x-[*])|12=πln2-π.5/4=π(2ln2-[*])。

解析
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