求曲线x3-xy+y3=1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.

admin2022-09-22  52

问题 求曲线x3-xy+y3=1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.

选项

答案设M(x,y)为曲线上一点,该点到坐标原点的距离为d=[*] 构造拉格朗日函数F(x)=x2+y2+λ(x3-xy+y3-1),则有 当x>0,y>0时,由(3y2-x)·①-(3x2-y)·②,可得 -3xy(x-y)=(x-y)(x+y). 因此y=x或-3xy=x+y(舍去). 将y=x代入③,解得x=1,从而得唯一驻点(1,1). 又x=0时,y=1;y=0时,x=1,可得边界点为(0,1)和(1,0). 计算可能极值点(1,1),及边界点(0,1)和(1,0)处的函数值,可得 f(1,1)=2,f(0,1)=1,f(1,0)=1. 因此,曲线上点到坐标原点的最长距离为[*],最短距离为1.

解析
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