微分方程y"-2y′-3y=e3x(e-4x+1)有特解形式(A,B为某些待定常数)( )

admin2021-04-07  36

问题 微分方程y"-2y′-3y=e3x(e-4x+1)有特解形式(A,B为某些待定常数)(    )

选项 A、y*=xe-x(A+Be4x)
B、y*=(Ax+Be4x)
C、y*=e3x(A+Be-4x)
D、y*=e3x(Ax+Be-4x)

答案A

解析 微分方程y"-2y’-3y=e3x(e-4x+1)对应的齐次方程的特征方程为r2-2r-3=0,特征根为r1=-1,r2=3。
而自由项e3x(e-4x+1)=e-x+e3x,原方程可拆成两个方程
y"-2y’-3y=e-x,y"-2y’-3y=e3x
前者的一个特解可记为y1*=Axe-x(因为-1是特征根);
后者的一个特解可记为y2*=Bxe3x(因为3是另一个特征根),
则原方程的特解形式为y*=x(Ae-x+Be3x)=xe-x(A+Be4x),选A。
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