微分方程y"－2y′－3y＝e3x(e－4x＋1)有特解形式(A，B为某些待定常数)( )

admin2021-04-07 59

问题微分方程y"－2y′－3y＝e^3x(e^－4x＋1)有特解形式(A，B为某些待定常数)( )

选项 A、y^*＝xe^－x(A＋Be^4x)
B、y^*＝(Ax＋Be^4x)
C、y^*＝e^3x(A＋Be^－4x)
D、y^*＝e^3x(Ax＋Be^－4x)

答案A

解析微分方程y"－2y’－3y＝e^3x(e^－4x＋1)对应的齐次方程的特征方程为r²－2r－3＝0，特征根为r₁＝－1，r₂＝3。
而自由项e^3x(e^－4x＋1)＝e^－x＋e^3x，原方程可拆成两个方程
y"－2y’－3y＝e^－x，y"－2y’－3y＝e^3x，
前者的一个特解可记为y₁^*＝Axe^－x(因为－1是特征根)；
后者的一个特解可记为y₂^*＝Bxe^3x(因为3是另一个特征根)，
则原方程的特解形式为y^*＝x(Ae^－x＋Be^3x)＝xe^－x(A＋Be^4x)，选A。

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