2. 考研
  3. 确定常数a使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(－2，a，4)T，β3=(－2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．

确定常数a使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(－2，a，4)T，β3=(－2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．

admin2019-12-26  39
问题 确定常数a使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(－2，a，4)T，β3=(－2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．
选项
答案【解法1】 记A=(α1，α2，α3)，B=(β1，β2，β3)，由于β1，β2，β3不能由α1，α2，α3线性表示，故r(A)<3，从而 |A|=－(a－1)2(a+2)=0，所以a=1或a=－2． 当a=1时，α1=α2=α3=β1=(1，1，1)T，故α1，α2，α3，可由β1，β2，β3线性表示，但β2=(－2，1，4)T不能由α1， α2，α3线性表示，所以a=1符合题意． 当a=－2时，由于 [*] 考虑线性方程组Bx=α2，因为r(B)=2，r(B，α2)=3，所以方程组Bx=α2无解，即α2不能由β1，β2，β3线性表示，与题设矛盾．因此a=1． 【解法2】 记A=(α1，α2，α3)，B=(β1，β2，β3)，对矩阵(A，B)施行初等行变换： [*] 由于β1，β2，β3不能由α1，α2，α3线性表示，故r(A)＜3，因此a=1或a=－2． 当a=1时， [*] 考虑线性方程组Ax=β2，由于r(A)=1，r(A，β2)=2，故方程组Ax=β2无解，所以β2不能由α1，α2，α3线性表示．另一方面，由于|B|=－9≠0，故Bx=αi(i=1，2，3)有唯一解，即α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表示，所以a=1符合题意． 当a=－2时， [*] 考虑线性方程组Bx=α2， [*] 由于r(B)=2，r(B，α2)=3，故方程组Bx=α2无解，即α2不能由β1，β2，β3线性表示，与题设矛盾．因此a=1．
解析
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考研数学三

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