设A为n阶矩阵，则下列命题正确的是( )．

admin2021-07-27 37

问题设A为n阶矩阵，则下列命题正确的是( )．

选项 A、若α为A^T的特征向量，那么α为A的特征向量
B、若α为A^*的特征向量，那么α为A的特征向量
C、若α为A²的特征向量，那么α为A的特征向量
D、若α为2A的特征向量，那么α为A的特征向量

答案D

解析 ①矩阵A^T与A的特征值相同，但特征向量不一定相同，故(A)不正确．
②假设α为A的特征向量，λ为其特征值。当λ≠0时，α也为A^*的特征向量．这是由于Aα=λα→A^*Aα=λA^*α→A^*α=λ^-1｜A｜α．但反之，α为A^*的特征向量，那么α不一定为A的特征向量．例如：当r(A)＜n-1时，A^*=0，此时，任意n维非零列向量都是A^*的特征向量，故A^*的特征向量不一定是A的特征向量．可知(B)不正确．
③假设α为A的特征向量，λ为其特征值，则α为A²的特征向量．这是由于A²α=A(Aα)=λAα=λ²α．但反之，若α为A²的特征向量，α不一定为A的特征向量．例如：假设Aβ₁=β₁，Aβ₂=-β₂，其中β₁，β₂≠0．此时有A²(β₁+β₂)=A²β₁+A²β₂=β₁+β₂，可知β₁+β₂为A²的特征向量．但β₁，β₂是矩阵A两个不同特征值的特征向量，它们的和β₁+β₂不是A的特征向量．故(C)不正确．
④若α为2A的特征向量，则存在实数λ使得2Aα=λα，此时有Aα=要地1/2λα，因此α为A的特征向量．可知(D)是正确的．故选(D)．

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