设A是3×3矩阵，β1，β2，β3是互不相同的3维列向量，且都不是方程组Ax=0的解，记B=(β1，β2，β3)，且满足r(AB)＜r(A)，r(AB)＜r(B)．则r(AB)等于 ( )

admin2019-02-23 60

问题设A是3×3矩阵，β₁，β₂，β₃是互不相同的3维列向量，且都不是方程组Ax=0的解，记B=(β₁，β₂，β₃)，且满足r(AB)＜r(A)，r(AB)＜r(B)．则r(AB)等于 ( )

选项 A、0
B、1
C、2
D、3

答案B

解析已知β_i(i=1，2，3)都不是Ax=0的解，即AB≠O，r(AB)≥1．又r(AB)＜r(A)，则矩阵B不可逆(若B可逆，则r(AB)=r(A)。这和r(AB)＜r(A)矛盾)，r(B)≤2，从而r(AB)＜r(B)≤2．即r(AB)≤1，从而有r(AB)=1．

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