[2016年] 设二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x3x1的正、负惯性指数分别为1，2，则( )．

admin2019-05-10 36

问题 [2016年] 设二次型f(x₁，x₂，x₃)=a(x₁²+x₂²+x₃²)+2x₁x₂+2x₂x₃+2x₃x₁的正、负惯性指数分别为1，2，则( )．

选项 A、a＞1
B、a＜一2
C、一2＜a＜1
D、a=1或a=一2

答案C

解析写出二次型f(x₁，x₂，x₃)的矩阵A，求出其特征值．由正、负惯性指数确定特征值的符号，从而求出参数取值的范围．
A=

，注意到A的主对角线上的元素全为a，非主对角线上的元素全为1．由命题2．5．1．7知A的3个特征值为
λ₁=a+(n一1)b=a+2，λ₂=λ₃=a一b=a一1．
又由题设知A的正、负惯性指数为1，2，故a+2＞0，a一1＜0，即一2＜a＜1．仅(C)入选．

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考研数学二

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