求一个正交变换把二次曲面的方程3χ2＋5y2＋5z2＋4χy－4χz－10yz＝1化成标准方程．

admin2017-03-15 49

问题求一个正交变换把二次曲面的方程3χ²＋5y²＋5z²＋4χy－4χz－10yz＝1化成标准方程．

选项

答案记二次曲面为f＝1，则f为二次型，二次型的矩阵为 [*] 得A的特征值为λ₁＝2，λ₂＝11，λ₃＝0．当λ₁＝2时，解方程(A－2E)χ＝0，得特征向量[*]，单位化得p₁＝[*] 当λ₂＝11时，解方程(A－11E)χ＝0，得特征向量[*]，单位化得p₂＝[*] 当λ₃＝0时，解方程Aχ＝0，得特征向量[*]，单位化得p₃＝[*] 于是有正交矩阵P(p₁，p₂，p₃)，使P^-1AP＝[*]，从而有正交变换 [*] 使原二次方程变为标准方程2u²＋11v²＝1．

解析

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