设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)nxm中元素aij(i，j=1，2，…，n)的代数余子式，二次型f(x1，x2…，xn)= (I)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)

admin2013-08-30 94

问题设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，A_ij是A=(a_ij)_nxm中元素a_ij(i，j=1，2，…，n)的代数余子式，二次型f(x₁，x₂…，x_n)=

(I)记X=(x₁，x₂，…，x_n)^T，把f(x₁，x₂，…，x_n)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的矩阵为A^-1；
(Ⅱ)二次型g(x)=X^TAX与f(x)的规范形是否相同?说明理由．

选项

答案(Ⅰ)由题设， [*] 已知A为n阶实对称矩阵，从而上式两边可转置， [*] 已知r(A)=n，从而｜A｜≠0，A可逆，且A^-1=[*] 则由(1)式知f(x₁，x₂，…，x_n)=x^TA^-1X且(A^-1)^T=(A^T)^-1=A^-1，故f(x₁，x₂，…，x_n)=x^TA^-1X是f(X)的矩阵表示，且相应矩阵为A^-1，证毕． (Ⅱ)由于(A^-1)^TAA^-1=(A^T)^-1层=A^-1，则A^-1与A合同，于是g(X)与X^TAX与f(X)有相同规范形，得证．

解析

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考研数学一

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设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)nxm中元素aij(i，j=1，2，…，n)的代数余子式，二次型f(x1，x2…，xn)= (I)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)

考研数学一

曲线y=的斜渐近线方程为________．

A、 B、 C、 D、 B按题意，这是利用定积分求这个数列的极限，先由对数性质，转化为求和式的极限．

设f(x)连续，(A为常数)，求φ’(x)并讨论φ’(x)在x=0处的连续性．

设向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αs的秩为r1，向量组(Ⅱ)β1，β2，…，βt的秩为r2，向量组(Ⅲ)α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt的秩为r3，则下列结论不正确的是()

求心形线r=a(1+cosθ)与圆r=2acosθ(a＞0)所围图形的面积S．

由a1=(1，1，0，0)T，a2=(1，0，1，1)T所生成的向量空间记作L1，由b1=(2，一1，3，3)T，b2=(0，1，一1，一1)T所生成的向量空间记作L2，试证L1=L2．

设A为n阶方阵(n≥2)，A是A的伴随矩阵，试证：当r(A)=n时，r(A)=n；

已知极限，试确定常数n和c的值．

设连续函数f(x)满足f(x)＋(x－t)dt＝x(x＞0)，且f(1)＝，则f(x)的极大值点和极大值分别为_________________．

设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66．5分，标准差为15分，问在显著性水平α=0．05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程．

—Whatwillyoubuyforyourboyfriend’sbirthday?—Iwanttobuya______walletforhim.

自然绝经是指

31岁女性，人工流产术后25d，仍有少量阴道流血，检查子宫饱满，质中，轻压痛，宫口松软，双附件(－)。应首先考虑下列哪项诊断

机械安装所用的基配点，应以(　　)为标准。

股权投资基金投资目标企业的根本目的是()。

通货膨胀是价值符号流通条件下的特有现象，是货币不均衡的一种表现。下列现象中不属于通货膨胀表现形式的有()。

下列合同中，属于可变更、可撤销合同的有()。

AccordingtotheNationalAcademyofSciences,theEarth’ssurfacetemperaturehasrisenbyabout1degreeFahrenheitinthepas

设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)nxm中元素aij(i，j=1，2，…，n)的代数余子式，二次型f(x1，x2…，xn)= (I)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)

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A、 B、 C、 D、 B按题意，这是利用定积分求这个数列的极限，先由对数性质，转化为求和式的极限．

设f(x)连续，(A为常数)，求φ’(x)并讨论φ’(x)在x=0处的连续性．

设向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αs的秩为r1，向量组(Ⅱ)β1，β2，…，βt的秩为r2，向量组(Ⅲ)α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt的秩为r3，则下列结论不正确的是()

求心形线r=a(1+cosθ)与圆r=2acosθ(a＞0)所围图形的面积S．

由a1=(1，1，0，0)T，a2=(1，0，1，1)T所生成的向量空间记作L1，由b1=(2，一1，3，3)T，b2=(0，1，一1，一1)T所生成的向量空间记作L2，试证L1=L2．

设A为n阶方阵(n≥2)，A*是A的伴随矩阵，试证：当r(A)=n时，r(A*)=n；

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设连续函数f(x)满足f(x)＋(x－t)dt＝x(x＞0)，且f(1)＝，则f(x)的极大值点和极大值分别为_________________．

设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66．5分，标准差为15分，问在显著性水平α=0．05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程．

—Whatwillyoubuyforyourboyfriend’sbirthday?—Iwanttobuya______walletforhim.

自然绝经是指

31岁女性，人工流产术后25d，仍有少量阴道流血，检查子宫饱满，质中，轻压痛，宫口松软，双附件(－)。应首先考虑下列哪项诊断

机械安装所用的基配点，应以( )为标准。

股权投资基金投资目标企业的根本目的是()。

通货膨胀是价值符号流通条件下的特有现象，是货币不均衡的一种表现。下列现象中不属于通货膨胀表现形式的有()。

下列合同中，属于可变更、可撤销合同的有()。

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设A为n阶方阵(n≥2)，A是A的伴随矩阵，试证：当r(A)=n时，r(A)=n；

机械安装所用的基配点，应以(　　)为标准。