2. 考研
  3. 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)nxm中元素aij(i，j=1，2，…，n)的代数余子式，二次型f(x1，x2…，xn)= (I)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)

设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)nxm中元素aij(i，j=1，2，…，n)的代数余子式，二次型f(x1，x2…，xn)= (I)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)

admin2013-08-30  72
问题 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)nxm中元素aij(i，j=1，2，…，n)的代数余子式，二次型f(x1，x2…，xn)=
  (I)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的矩阵为A-1；
  (Ⅱ)二次型g(x)=XTAX与f(x)的规范形是否相同?说明理由．
选项
答案(Ⅰ)由题设， [*] 已知A为n阶实对称矩阵，从而上式两边可转置， [*] 已知r(A)=n，从而｜A｜≠0，A可逆，且A-1=[*] 则由(1)式知f(x1，x2，…，xn)=xTA-1X且(A-1)T=(AT)-1=A-1， 故f(x1，x2，…，xn)=xTA-1X是f(X)的矩阵表示，且相应矩阵为A-1，证毕． (Ⅱ)由于(A-1)TAA-1=(AT)-1层=A-1，则A-1与A合同，于是g(X)与XTAX与f(X)有相同规范形，得证．
解析
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考研数学一

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