设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)nxm中元素aij(i，j=1，2，…，n)的代数余子式，二次型f(x1，x2…，xn)= (I)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)

admin2013-08-30 65

问题设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，A_ij是A=(a_ij)_nxm中元素a_ij(i，j=1，2，…，n)的代数余子式，二次型f(x₁，x₂…，x_n)=

(I)记X=(x₁，x₂，…，x_n)^T，把f(x₁，x₂，…，x_n)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的矩阵为A^-1；
(Ⅱ)二次型g(x)=X^TAX与f(x)的规范形是否相同?说明理由．

选项

答案(Ⅰ)由题设， [*] 已知A为n阶实对称矩阵，从而上式两边可转置， [*] 已知r(A)=n，从而｜A｜≠0，A可逆，且A^-1=[*] 则由(1)式知f(x₁，x₂，…，x_n)=x^TA^-1X且(A^-1)^T=(A^T)^-1=A^-1，故f(x₁，x₂，…，x_n)=x^TA^-1X是f(X)的矩阵表示，且相应矩阵为A^-1，证毕． (Ⅱ)由于(A^-1)^TAA^-1=(A^T)^-1层=A^-1，则A^-1与A合同，于是g(X)与X^TAX与f(X)有相同规范形，得证．

解析

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考研数学一

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设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)nxm中元素aij(i，j=1，2，…，n)的代数余子式，二次型f(x1，x2…，xn)= (I)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)

考研数学一

已知函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2f(t)dt，则当n≥2时，f(n)(0)=_________．

已知函数x=f(x，y)的全微分dz=2xdx－2ydy，并且f(1，1)=2。求f(x，y)在椭圆域D={(x，y)|x2+≤1}上的最大值和最小值。

已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22-3x23+4x1x2-4x1x3+8x2x3．写出二次型f的矩阵表达式；

设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有()

设函数f(x)具有连续的二阶导数，且点(0，f(0))是函数y=f(x)对应曲线的拐点，则=()

写出一个以x=为通解的齐次线性方程组．

求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是(1，0，1，0，0)，(1，一1，0，0，0)．

已知的一个特征向量．试确定参数a，b及特征向量ξ所对应的特征值；

设有方程y“+(4x+e2y)(y‘)3=0．将方程转化为x为因变量，y作为自变量的方程；

设A为n阶矩阵，则下列命题正确的是()．

经统计，某机械厂10年中发生了1649起可记录意外事件。根据海因里希法则，该厂发生的1649起可记录意外事件中伤亡的人数可能是()。

潮气量增加(其他因素不变)时，下列项目中将增加的是

认识资本化率的重要性,能使估价人员对资本化率的选取抱着()的态度。正是由于对资本化率选取的精度要求很高,使得许多估价人员明知收益法是一种理论充分、普遍适用于收益性房地产估价的方法,但往往不敢贸然采用。

不适合焊接薄板的焊接方式是()。

我国第一颗人造地球卫星于1970年发射，标志着我国成为继苏联之后世界上第二个用自制火箭发射国产卫星的国家。（）

个体经济和私营经济的发展是社会主义现代化建设必不可少的组成部分。(　　)

造成城市白领们“亚营养”危机的原因之一，是他们长期在外就餐且通常凑合应付，这样容易导致某种营养素的，并使他们在不知不觉中养成多油、高糖、高盐等膳食习惯。依次填入画横线部分最恰当的一项是()。

Hitsongsarebigbusiness,sothereisanincentiveforcomposerstotrytoteaseoutthoseingredientsthatmightincreasethe

WaterprojectsintheUnitedStatesgainedanewrationaleinthe1930sasthenationsuffereditsworsteconomicdepressionan

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