设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)nxm中元素aij(i，j=1，2，…，n)的代数余子式，二次型f(x1，x2…，xn)= (I)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)

admin2013-08-30 31

问题设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，A_ij是A=(a_ij)_nxm中元素a_ij(i，j=1，2，…，n)的代数余子式，二次型f(x₁，x₂…，x_n)=

(I)记X=(x₁，x₂，…，x_n)^T，把f(x₁，x₂，…，x_n)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的矩阵为A^-1；
(Ⅱ)二次型g(x)=X^TAX与f(x)的规范形是否相同?说明理由．

选项

答案(Ⅰ)由题设， [*] 已知A为n阶实对称矩阵，从而上式两边可转置， [*] 已知r(A)=n，从而｜A｜≠0，A可逆，且A^-1=[*] 则由(1)式知f(x₁，x₂，…，x_n)=x^TA^-1X且(A^-1)^T=(A^T)^-1=A^-1，故f(x₁，x₂，…，x_n)=x^TA^-1X是f(X)的矩阵表示，且相应矩阵为A^-1，证毕． (Ⅱ)由于(A^-1)^TAA^-1=(A^T)^-1层=A^-1，则A^-1与A合同，于是g(X)与X^TAX与f(X)有相同规范形，得证．

解析

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考研数学一

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