设二次型 f=x21+x22+x23+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3 经正交变换x=Py化成f=y22+2y23，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵．试求常数α，β．

admin2021-02-25 67

问题设二次型
f=x²₁+x²₂+x²₃+2αx₁x₂+2βx₂x₃+2x₁x₃
经正交变换x=Py化成f=y²₂+2y²₃，其中x=(x₁，x₂，x₃)^T和y=(y₁，y₂，y₃)^T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵．试求常数α，β．

选项

答案二次型f(x₁，x₂，x₃)的矩阵为 [*] 因为P为正交矩阵，所以 [*] 即A与B相似，故A与B有相同的特征值λ₁=0，λ₂=1，λ₃=2，这些特征值满足｜λE—A｜=0．当λ₁=0，则 [*] 当λ₂=1，则 [*] 由式(1)和(2)，可求得α=β=0．注：本题可用特征值的性质和特征方程求得α，β如用｜A｜=0×1×2=0．｜E-A｜=0．

解析本题主要考查二次型在正交变换下的不变量．令二次型f(x₁，x₂，x₃)的矩阵为A，由标准形为f=y²₂+
2y²₃，知A的特征值为0，1，2，代入A的特征方程，求得α，β．

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考研数学二

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已知三角形的周长为2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形．

设向量组α1=(a，0，10)T，α2=(一2，1，5)T，α3=(一1，1，4)T，β=(1，b，c)T，试问：当a，b，c满足什么条件时,回答下列问题：β可由α1,α2,α3线性表出，且表示唯一；

计算n阶行列式，其中α≠β。

在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M(1，0)，其上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a＞0)。当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为时，确定a的值。

设A是n阶矩阵，证明方程组Ax=b对任何b都有解的充分必要条件是｜A｜≠0．

已知三元二次型XTAX经正交变换化为2y12一y22一y32，又知矩阵B满足矩阵方程其中α=[1，1，一1]T，A*为A的伴随矩阵,求二次型XTBX的表达式．

设n阶行列式Dn=，求Dn完全展开后的n!项中正项的总数。

二次型f(x1，x2，x3)=x12+3x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，则f的正惯性指数为____________.

设函数f(u)可微，且f’(2)=2，则z=f(x2+y2)在点(1，1)处的全微分dz｜(1,1)=_________．

若3阶非零方阵B的每一列都是方程组的解，则λ=，｜B｜=_．

关于注册会计师了解被审计单位及其环境的目的，以下说法中，不恰当的是()。

患者，男，16岁。发热10天伴食欲减退，软弱。查体：T39．6℃，P74次／分，肝肋下2．0cm，脾肋下1．0cm。实验室检查：WBC26×109／L；N0．85，L0．14，E0．01。临床上拟诊为伤寒，为确诊应首选()

肝脏的正中裂将肝分为左、右两部分，左、右之比约为

新生儿易患呼吸道感染的免疫因素是呼吸道黏膜缺少

下列关于美国宪法的发展和特点的表述正确的是：()

在图示圆锥摆中，球M的质量为m，绳长l，若α角保持不变，则小球的法向加速度为：

对于大型复杂工程项目，施工标段划分较多时，对建设单位的影响是()。

()位于广东省东南沿海，是粤西与粤东、香港与内地之间经济联系的重要纽带。

重证据，重调查研究，严禁逼供信政策()。

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