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设二次型 f=x21+x22+x23+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3 经正交变换x=Py化成f=y22+2y23,其中x=(x1,x2,x3)T和y=(y1,y2,y3)T都是3维列向量,P是3阶正交矩阵.试求常数α,β.
设二次型 f=x21+x22+x23+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3 经正交变换x=Py化成f=y22+2y23,其中x=(x1,x2,x3)T和y=(y1,y2,y3)T都是3维列向量,P是3阶正交矩阵.试求常数α,β.
admin
2021-02-25
108
问题
设二次型
f=x
2
1
+x
2
2
+x
2
3
+2αx
1
x
2
+2βx
2
x
3
+2x
1
x
3
经正交变换x=Py化成f=y
2
2
+2y
2
3
,其中x=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
和y=(y
1
,y
2
,y
3
)
T
都是3维列向量,P是3阶正交矩阵.试求常数α,β.
选项
答案
二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)的矩阵为 [*] 因为P为正交矩阵,所以 [*] 即A与B相似,故A与B有相同的特征值λ
1
=0,λ
2
=1,λ
3
=2,这些特征值满足|λE—A|=0. 当λ
1
=0,则 [*] 当λ
2
=1,则 [*] 由式(1)和(2),可求得α=β=0. 注:本题可用特征值的性质和特征方程求得α,β如用|A|=0×1×2=0.|E-A|=0.
解析
本题主要考查二次型在正交变换下的不变量.令二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)的矩阵为A,由标准形为f=y
2
2
+
2y
2
3
,知A的特征值为0,1,2,代入A的特征方程,求得α,β.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/9e84777K
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考研数学二
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