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设A是三阶矩阵,α1,α2,α3为三维列向量且α1≠0.若Aα1=α1,Aα2=α1+α2,Aα3=α2+α3. (I)证明:向量组α1,α2,α3线性无关. (Ⅱ)证明:A不可相似对角化.
设A是三阶矩阵,α1,α2,α3为三维列向量且α1≠0.若Aα1=α1,Aα2=α1+α2,Aα3=α2+α3. (I)证明:向量组α1,α2,α3线性无关. (Ⅱ)证明:A不可相似对角化.
admin
2020-03-08
42
问题
设A是三阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
为三维列向量且α
1
≠0.若Aα
1
=α
1
,Aα
2
=α
1
+α
2
,Aα
3
=α
2
+α
3
.
(I)证明:向量组α
1
,α
2
,α
3
线性无关.
(Ⅱ)证明:A不可相似对角化.
选项
答案
(I)由Aα
1
=α
1
得(A—E)α
1
=0, 由Aα
2
=α
1
+α
2
得(A—E)α
2
=α
1
, 由Aα
3
=α
2
+α
3
得(A—E)α
3
=α
2
. 令 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0, 1) 两边左乘以(A—E)得 k
2
α
1
+k
3
α
2
=0, 2) 两边再左乘(A—E)得k
3
α
1
=0, 由α
1
≠0得k
3
=0,代入2)得k
2
α
1
=0,则k
2
=0,再代入1)得k
1
α
1
=0,从而k
1
=0,于是α
1
,α
2
,α
3
线性无关. (Ⅱ)令P=(α
1
,α
2
,α
3
), 由(Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
)=(α
1
,α
1
+α
2
,α
2
+α
3
)得 [*] 由|λE—A|=|λE一B|=(λ一1)
2
=0得A的特征值为λ
1
=λ
2
=λ
3
=1, [*] 因为r(E—B)=2,所以B只有一个线性无关的特征向量,即B不可相似对角化, 而A~B,故A不可相似对角化.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/9eS4777K
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考研数学一
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