2. 考研
  3. 设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量且α1≠0．若Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3． (I)证明：向量组α1，α2，α3线性无关． (Ⅱ)证明：A不可相似对角化．

设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量且α1≠0．若Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3． (I)证明：向量组α1，α2，α3线性无关． (Ⅱ)证明：A不可相似对角化．

admin2020-03-08  31
问题 设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量且α1≠0．若Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3．
(I)证明：向量组α1，α2，α3线性无关．
(Ⅱ)证明：A不可相似对角化．
选项
答案(I)由Aα1=α1得(A—E)α1=0， 由Aα2=α1+α2得(A—E)α2=α1， 由Aα3=α2+α3得(A—E)α3=α2． 令 k1α1+k2α2+k3α3=0， 1) 两边左乘以(A—E)得 k2α1+k3α2=0， 2) 两边再左乘(A—E)得k3α1=0， 由α1≠0得k3=0，代入2)得k2α1=0，则k2=0，再代入1)得k1α1=0，从而k1=0，于是α1，α2，α3线性无关． (Ⅱ)令P=(α1，α2，α3)， 由(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1，α1+α2，α2+α3)得 [*] 由|λE—A|=|λE一B|=(λ一1)2=0得A的特征值为λ1=λ2=λ3=1， [*] 因为r(E—B)=2，所以B只有一个线性无关的特征向量，即B不可相似对角化， 而A～B，故A不可相似对角化．
解析
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考研数学一

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