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二次型f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+cx32-2x1x2-6x2x3+6x1x3的秩为2，求c及此二次型的规范形，并写出相应的变换．
二次型f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+cx32-2x1x2-6x2x3+6x1x3的秩为2，求c及此二次型的规范形，并写出相应的变换．
admin
2018-06-27
90
问题
二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=5x
1
2
+5x
2
2
+cx
3
2
-2x
1
x
2
-6x
2
x
3
+6x
1
x
3
的秩为2，求c及此二次型的规范形，并写出相应的变换．
选项
答案
二次型矩阵A=[*]，由二次型的秩为2，即矩阵A的秩r(A)=2，则有 ｜A｜=24(c-3)=0[*]c=3． 用配方法求规范形和所作变换． f(x
1
，x
2
，x
3
)=5x
1
2
+5x
2
2
+3x
3
2
-2x
1
x
2
+6x
1
x
3
-6x
2
x
3
=3(x
3
+x
1
-x
2
)
2
-3(x
1
-x
2
)
2
+5x
1
2
+5x
2
2
-2x
1
x
2
=3(x
1
-x
2
+x
3
)
2
+2x
1
+2x
2
2
+4x
1
x
2
=3(x
1
-x
2
+x
3
)
2
+2(x
1
+x
2
)
2
令 [*] 则f(x
1
，x
2
，x
3
)=y
1
2
+y
2
2
，为规范二次型． 所作变换为 [*]
解析
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考研数学二
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