设f(x)在(一∞,+∞)上是正值连续函数,判别φ(x)=∫-aa|x一u|f(u)du在 (一∞,+∞)上的凹凸性.

admin2017-05-31  23

问题 设f(x)在(一∞,+∞)上是正值连续函数,判别φ(x)=∫-aa|x一u|f(u)du在 (一∞,+∞)上的凹凸性.

选项

答案用二阶导数的符号判定. φ(x)=∫-ax(x—u)f(u)du+∫xa(u一x)f(u)du =x∫-axf(u)du—∫-axuf(u)du+∫xauf(u)du一x∫xaf(u)du,φ’(x)=∫-axf(u)du+xf(x)一xf(x)一xf(x)一∫xaf(u)du+xf(x) =∫-axf(u)du—∫xaf(u)du,φ’’(x)=f(x)+f(x)=2f(x)>0. 所以,φ(x)是(一∞,+∞)上的上凹函数(或下凸函数).

解析
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