设四阶矩阵A=(aij)不可逆,a12的代数余子式A12≠0,a1,a2,a3,a4为矩阵A的列向量组,A*为A的伴随矩阵,则方程组A*x=0的通解为

admin2021-01-25  76

问题 设四阶矩阵A=(aij)不可逆,a12的代数余子式A12≠0,a1,a2,a3,a4为矩阵A的列向量组,A*为A的伴随矩阵,则方程组A*x=0的通解为

选项 A、x=k1a1+k2a2+k3a3,其中k1,k2,k3为任意常数.
B、x=k1a1+k2a2+k3a4,其中k1,k2,k3为任意常数.
C、x=k1a1+k2a3+k3a4,其中k1,k2,k3为任意常数.
D、x=k1a2+k2a3+k3a4,其中k1,k2,k3为任意常数.

答案C

解析 由于A12≠0,r(A)=3,所以r(A*)=1,成基础解系.由AA*=(a1,a2,a3,a4)=0
可知,A11a1+A12a2+A13a3+A14a4=O,因为A12≠0,因此a2可由a1,a3,a4线性表示,
故a1,a3,a4线性无关.因为r(A)=r(a1,a2,a3,a4)=3,因此a1,a3,a4为基础解系,故应选C.
又因为A′A=|A|E=O,A的每一列a1,a2,a3,a4是A*x=0的解向量.只要找到是A*x=0的3个无关解就构成基础解系.
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