微分方程y”-2y’-3y=e3x(e-4x+1)有特解形式(A，B为某些待定常数)( )

admin2021-04-16 62

问题微分方程y”-2y’-3y=e^3x(e^-4x+1)有特解形式(A，B为某些待定常数)( )

选项 A、y^*=xe^x(A+Be^4x)
B、y^*=e^x(A+Be^4x)
C、y^*=e^3x(A+Be^4x)
D、y^*=e^3x(A+Be^-4x)

答案A

解析微分方程y”-2y’-3y=e^3x(e^-4x+1)对应的齐次方程的特征方程为r²-2r-3=0，特征根为r₁=-1，r₂=3。
而自由项e^3x(e^-4x+1)=e^-x+e^3x，原方程可拆成两个方程
y”-2y’-3y=e^-x，y”-2y’-3y=e^3x，前者的一个特解可记为y₁^*=Axe^-x(因为-1是特征根)；
后者的一个特解可记为y₂^*=Axe^3x(因为3是另一个特征根)。
则原方程的特解形式为y^*=x(Ae^-x+Be^3x)=xe^-x(A+Be^4x)，选A。

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