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设函数f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数,且f(0)=f(1)=0,f(x)≠0(xε(0,1)),证明:。
设函数f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数,且f(0)=f(1)=0,f(x)≠0(xε(0,1)),证明:。
admin
2019-07-10
49
问题
设函数f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数,且f(0)=f(1)=0,f(x)≠0(xε(0,1)),证明:
。
选项
答案
由题设可知︱f(x)︱在[0,1]上连续,根据有界闭区间上连续函数最值定理,存在x
0
ε(0,1),使得[*]在[0,x
0
]与[x
0
,1]上分别应用拉格朗日中值定理得:存在ξ
1
ε(0,x
0
),ξ
2
ε(x
0
,1)使得[*],于是[*],令y=x(1-x),则y
’
=1-2x,由y
’
=0得x=[*],又y
’’
=-2,所以y=x(1-x)在x=[*]处取最大值[*],因而[*]在x=[*]处取最小值,因此[*]。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/fPJ4777K
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考研数学三
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