2. 考研
  3. 从抛物线y=x2—1的任意一点P（t，t2—1）引抛物线y=x2的两条切线。 （Ⅰ）求这两条切线的切线方程； （Ⅱ）证明该两条切线与抛物线y=x2所围面积为常数．

从抛物线y=x2—1的任意一点P（t，t2—1）引抛物线y=x2的两条切线。 （Ⅰ）求这两条切线的切线方程； （Ⅱ）证明该两条切线与抛物线y=x2所围面积为常数．

admin2019-07-10  79
问题 从抛物线y=x2—1的任意一点P（t，t2—1）引抛物线y=x2的两条切线。
（Ⅰ）求这两条切线的切线方程；
（Ⅱ）证明该两条切线与抛物线y=x2所围面积为常数．
选项
答案(Ⅰ)抛物线y=x2在点(x0，x02)处的切线方程为 y=x02+2x0(x一x0)，即y=2x0x一x02． 若它通过点P，则 t2—1=2x0t一x02，即x02—2x0t+t2—1=0， 解得x0的两个解 x1=t一1，x2=t+1． ① 从而求得从抛物线y=x2—1的任意一点P(t，t2—1)引抛物线y=x2的两条切线的方程是 L1：y=2x1x一x12；L2：y=2x2x一x22． [*] (Ⅱ)这两条切线与抛物线y=x2所围图形的面积为 S(t)=∫x1t[x2一(2x1x一x12)]dx+∫tx2[x2一(222x一x22)]dx，下证S(t)为常数． 求出S(t)． [*]
解析
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考研数学三

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