2. 考研
  3. 给出如下5个命题： (1)若不恒为常数的函数f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且x0≠0是f(x)的极大值点，则一x0必是一f(一x)的极大值点； (2)设函数f(x)在[a，+∞)上连续，f"((x)在(a，+∞)内存在且大于零，则F(x

给出如下5个命题： (1)若不恒为常数的函数f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且x0≠0是f(x)的极大值点，则一x0必是一f(一x)的极大值点； (2)设函数f(x)在[a，+∞)上连续，f"((x)在(a，+∞)内存在且大于零，则F(x

admin2020-03-01  31
问题 给出如下5个命题：
    (1)若不恒为常数的函数f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且x0≠0是f(x)的极大值点，则一x0必是一f(一x)的极大值点；
    (2)设函数f(x)在[a，+∞)上连续，f"((x)在(a，+∞)内存在且大于零，则F(x)=在(a，+∞)内单调增加；
    (3)若函数f(x)对一切x都满足xf"(x)+3x[f’(x)]2=1一e-x，且f’(x0)=0，x0≠0，则f(x0)是f(x)的极大值；
    (4)设函数y=y(x)由方程2y3一2y2+2xy-x2=一1所确定，则y=y(x)的驻点必定是它的极小值点；
    (5)设函数f(x)=xex，则它的n阶导数f(n)(x)在点x0=一(n+1)处取得极小值．
    正确命题的个数为    (  )
选项 A、2
B、3
C、4
D、5
答案B
解析 对上述5个命题一一论证．
  对于(1)，只要注意到：若f(x)在点x0取到极大值，则一f(x)必在点x0处取到极小值，故该结论错误；
    对于(2)，对任意x＞a．由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(a，x)使f(x)-f(a)=f’(ξ)(x—a)，则
    由f"(x)＞0知，f’(x)在(a，+∞)内单调增加．因此，对任意的x与ξ，a＜ξ＜x，有f’(x)＞f’(ξ)，从而由上式得F’(x)＞0，所以函数F(x)在(a，一∞)内单调增加，该结论正确；
    对于(3)，因f’(x0)=0，故所给定的方程为，显然，不论x0＞0，还是x0＜0，都有f"(x0)＞0，于是由f’(x0)=0与f"(x0)＞0得f(x0)是f(x)的极小值，故该结论错误；
    对于(4)，对给定的方程两边求导，得
    3y2y’一2yy’+xy’+y-x=0，    ①
再求导，得
    (3y2一2y+x)y"+(6y一2)(y’)2+2y’=1．    ②
令y’=0，则由式①得y=x，再将此代入原方程有2x3一x2=1，从而得y=y(x)的唯一驻点x0=1，因x0=1时y0=1，把它们代入式②得y"|(1,1)＞0，所以唯一驻点x0=1是y=y(x)的极小值点，该结论正确；
    对于(5)，因为是求n阶导数f(n)(x)的极值问题，故考虑函数f(x)=xex的n+1阶导数f(n+1)(x)，由高阶导数的莱布尼茨公式得
    f(n)(x)=x(ex)(n)+n(ex)n-1=(x+n)ex，
    f(n+1)(x)=[x+(n+1)]ex；f(n+2)(x)=[x+(n+2)]ex-(n+1)．
    令f(n+1)(x)=0，得f(n)(x)的唯一驻点x0=一(n+1)；又因f(n+2)(x0)=e-(n+1)＞0，故点x0=一(n+1)是n阶导数f(n)(x)的极小值点，且其极小值为f(n)(x0)=一e-(n+1)，该结论正确．故正确命题一共3个，答案选择(B)．
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考研数学二

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