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设f(χ)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导,且f〞(χ)≥0,φ(χ)是区间[a,b]上的非负连续函数,且∫abφ(χ)dχ=1.证明:∫abf(χ)φ(χ)dχ≥f[∫abχφ(χ)dχ].
设f(χ)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导,且f〞(χ)≥0,φ(χ)是区间[a,b]上的非负连续函数,且∫abφ(χ)dχ=1.证明:∫abf(χ)φ(χ)dχ≥f[∫abχφ(χ)dχ].
admin
2019-03-21
90
问题
设f(χ)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导,且f〞(χ)≥0,φ(χ)是区间[a,b]上的非负连续函数,且∫
a
b
φ(χ)dχ=1.证明:∫
a
b
f(χ)φ(χ)dχ≥f[∫
a
b
χφ(χ)dχ].
选项
答案
因为f〞(χ)≥0,所以有f(χ)≥f(χ
0
)+f′(χ
0
)(χ-χ
0
). 取χ
0
=∫
a
b
χφ(χ)dχ,因为φ(χ)≥0,所以aφ(χ)≤χφ(χ)≤bφ(χ),又∫
a
b
φ(χ)dχ=1,于是有a≤∫
a
b
χφ(χ)dχ=χ
0
≤b.把χ
0
=∫
a
b
χφ(χ)dχ代入f(χ)≥f(χ
0
)+f′(χ
0
)(χ-χ
0
)中,再由φ(χ)≥0,得 f(χ)φ(χ)≥f(χ
0
)φ(χ)+f′(χ
0
)[χφ(χ)-χ
0
φ(χ)], 上述不等式两边再在区间[a,b]上积分,得∫
a
b
f(χ)φ(χ)dχ≥f[∫
a
b
χφ(χ)dχ].
解析
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考研数学二
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