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二阶微分方程y"=e2y满足条件y(0)=0,y’(0)=1的特解是y=__________.
二阶微分方程y"=e2y满足条件y(0)=0,y’(0)=1的特解是y=__________.
admin
2015-04-30
107
问题
二阶微分方程y"=e
2y
满足条件y(0)=0,y’(0)=1的特解是y=__________.
选项
答案
一ln(1一x).
解析
题设的二阶微分方程不显含自变量x,令y’=P并以y为自变量可降阶为关于p的一阶微分方程.
注意当令y’=p时
=2e
2y
,分离变量有2pdp=2e
2y
dy,积分即得其通解为p
2
=e
2y
+C.
利用题设的初值知当y=0时p=1,由此可确定常数C=0.于是得到新方程p
2
=e
2y
,因为初值p=1>0,故可求p>0的解,即应解微分方程p=e
y
,即
=e
y
.
分离变量可得e
—y
dy=dx,积分即得其通解为e
—y
=C
1
一x,即y=一ln(C
1
一x).利用初值y(0)=0可确定常数C
1
=1,故所求特解是y=一In(1一x).
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考研数学二
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