微分方程y＂＋2y＇一3y＝x(ex＋1)的通解为y＝___________．

admin2018-07-26 81

问题微分方程y＂＋2y＇一3y＝x(e^x＋1)的通解为y＝___________．

选项

答案[*]，其中C₁，C₂为任意常数

解析该常系数线性微分方程对应的齐次方程的特征方程为
r²＋2r一3＝(r一1)(r＋3)＝0，
特征根r₁＝1，r2＝一3，对应的齐次方程的通解为
Y＝C₁e^x＋C₂e^-3x，其中C₁，C₂为任意常数．
原给非齐次微分方程
y＂＋2y＇一3y＝x(e^x＋1)＝xe^x＋x，
可分解成两个非齐次方程
y²＋2y＇一3y＝xe^x与y＂＋2y＇一3y＝x，
用常用的待定系数法，可求得各自的特解分别为

所以原给方程的通解为
y＝

其中C₁，C₂为任意常数．或写成如上所填．

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