2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak－1α≠0． 证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α是线性无关的．

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak－1α≠0． 证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α是线性无关的．

admin2016-10-26  28
问题 设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak－1α≠0．
证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α是线性无关的．
选项
答案(定义法，同乘) 设有常数l1，l2，…，lk，使得 l1α+l2Aα+…+lkAk－1α=0， 用Ak－1左乘上式，得Ak－1(l1α+l2Aα+…+lkAk－1α)=0． 由Akα=0，知Ak+1α=Ak+2α=…=0，从而有l1Ak－1α=0．因为Ak－1α≠0，所以l1=0． 类似可证l2=l3=…=lk=0，故向量组α，Aα，…，Ak－1α线性无关．
解析
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考研数学一

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