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设f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f(x)≠0(1<x<2),又存在,证明: (1)存在ξ∈(1,2),使得。 (2)存在η∈(1,2),使得∫12f(t)dt=ξ(ξ一1)f’(η)ln2.
设f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f(x)≠0(1<x<2),又存在,证明: (1)存在ξ∈(1,2),使得。 (2)存在η∈(1,2),使得∫12f(t)dt=ξ(ξ一1)f’(η)ln2.
admin
2016-09-30
35
问题
设f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f(x)≠0(1<x<2),又
存在,证明:
(1)存在ξ∈(1,2),使得
。
(2)存在η∈(1,2),使得∫
1
2
f(t)dt=ξ(ξ一1)f’(η)ln2.
选项
答案
(1)令h(x)=lnx,F(x)=∫
1
x
f(t)dt,且F’(x)=f(x)≠0, [*] 由拉格朗日中值定理得f(ξ)=f(ξ)—f(1)=f’(η)(ξ一1),其中1<η<ξ, 故∫
1
2
f(t)dt=ξ(ξ一1)f’(η)ln2.
解析
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考研数学一
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