设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12－y22－y32，又A*α=α，其中α=(1，1，－1)T． (I)求矩阵A； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化

admin2017-12-21 75

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX经过正交变换化为标准形f=2y₁²－y₂²－y₃²，又A^*α=α，其中α=(1，1，－1)^T．
(I)求矩阵A；
(Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX化为标准形．

选项

答案(I)显然A的特征值为λ₁=2，λ₂=－1，λ₃=－1，｜A｜=2，伴随矩阵A^*的特征值为μ₁=1，μ₂=－2，μ₃=－2．由A^*α=α得AA^*α=Aα，即Aα=2α，即α=(1，1，－1)^T是矩阵A的对应于特征值λ₁=2的特征向量．令ξ=(x₁，x₂，x₃)^T为矩阵A的对应于特征值λ₂=－1，λ₃=－1的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以α^Tξ=0，即x₁+x₂－x₃=0，于是λ₂=－1，λ₃=－1对应的线性无关的特征向 [*]

解析

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考研数学三

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设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12－y22－y32，又A*α=α，其中α=(1，1，－1)T． (I)求矩阵A； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化

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