2. 考研
  3. 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。 (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A。

设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。 (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A。

admin2017-08-28  88
问题 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。
    (Ⅰ)求A的特征值与特征向量；
    (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A。
选项
答案(Ⅰ)因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以有 [*] 则λ=3是矩阵A的特征值，α=(1，1，1)T是对应的特征向量。对应λ=3的全部特征向量为kα=k(1，1，1)T，其中k是不为零的常数。 又由题设知Aα1=0，Aα2=0，即Aα1=0.α1，Aα2=0.α2，而且α1，α2线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α1，α2是其对应的特征向量，因此对应λ=0的全部特征向量为 k1α1+k2α2=k1(-1，2，-1)T+k2(0，-1，1)T，其中k1，k2是不全为零的常数。 (Ⅱ)因为A是实对称矩阵，所以α与α1，α2正交，只需将α1与α2正交化。 由施密特正交化法，取 β1=α1，β2=α2-[*] 再将α，β2，β2单位化，得 [*] 令Q=(η1，η2，η3)，则Q-1=QT，且 QTAQ=[*]=Λ。
解析
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考研数学一

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