2. 考研
  3. 已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0，设α=(1，2，－1)T且满足Aα=2α． (Ⅰ)求该二次型表达式； (Ⅱ)求正交变换x=Qy化二次型为标准形，并写出所用坐标变换； (Ⅲ)若A+kE正定，求k的取值．

已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0，设α=(1，2，－1)T且满足Aα=2α． (Ⅰ)求该二次型表达式； (Ⅱ)求正交变换x=Qy化二次型为标准形，并写出所用坐标变换； (Ⅲ)若A+kE正定，求k的取值．

admin2015-05-07  59
问题 已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0，设α=(1，2，－1)T且满足Aα=2α．
    (Ⅰ)求该二次型表达式；
    (Ⅱ)求正交变换x=Qy化二次型为标准形，并写出所用坐标变换；
    (Ⅲ)若A+kE正定，求k的取值．
选项
答案(Ⅰ)据已知条件，有 [*] 解出a12=2，a13=2，a23=－2， 所以xTAx=4x1x2+4x1x3－4x2x3． [*] 得矩阵A的特征值为2，2，－4． [*] 得λ=2的特征向量α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，1)T； [*] 得λ=－4的特征向量α3=(－1，1，1)T． 将α1，α2正交化．令β1=α1，则 [*] 再对β1，β2，α3单位化，有 [*] xTAx=[*] (Ⅲ)因为A+kE的特征值为k+2，k+2，k－4，所以当k>4时，矩阵A+kE正定．
解析
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考研数学一

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