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已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0,设α=(1,2,-1)T且满足Aα=2α. (Ⅰ)求该二次型表达式; (Ⅱ)求正交变换x=Qy化二次型为标准形,并写出所用坐标变换; (Ⅲ)若A+kE正定,求k的取值.
已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0,设α=(1,2,-1)T且满足Aα=2α. (Ⅰ)求该二次型表达式; (Ⅱ)求正交变换x=Qy化二次型为标准形,并写出所用坐标变换; (Ⅲ)若A+kE正定,求k的取值.
admin
2015-05-07
28
问题
已知三元二次型x
T
Ax的平方项系数均为0,设α=(1,2,-1)
T
且满足Aα=2α.
(Ⅰ)求该二次型表达式;
(Ⅱ)求正交变换x=Qy化二次型为标准形,并写出所用坐标变换;
(Ⅲ)若A+kE正定,求k的取值.
选项
答案
(Ⅰ)据已知条件,有 [*] 解出a
12
=2,a
13
=2,a
23
=-2, 所以x
T
Ax=4x
1
x
2
+4x
1
x
3
-4x
2
x
3
. [*] 得矩阵A的特征值为2,2,-4. [*] 得λ=2的特征向量α
1
=(1,1,0)
T
,α
2
=(1,0,1)
T
; [*] 得λ=-4的特征向量α3=(-1,1,1)
T
. 将α
1
,α
2
正交化.令β
1
=α
1
,则 [*] 再对β
1
,β
2
,α
3
单位化,有 [*] x
T
Ax=[*] (Ⅲ)因为A+kE的特征值为k+2,k+2,k-4,所以当k>4时,矩阵A+kE正定.
解析
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考研数学一
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