(2006年)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1＝(－1，2，－1)T，α2＝(0，－1，1)T是线性方程组Aχ＝0的两个解． (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ＝A．

admin2016-05-30 105

问题 (2006年)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α₁＝(－1，2，－1)^T，α₂＝(0，－1，1)^T是线性方程组Aχ＝0的两个解．
(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得Q^TAQ＝A．

选项

答案(Ⅰ)由于矩阵A的各行元素之和均为3，所以 [*] 因为Aα₁＝0，Aα₂＝0，即 Aα₁＝0α₁，Aα₂＝0α₂ 故由定义知λ₁＝λ₂＝0是A的二重特征值，α₁，α₂为A的属于特征值O的两个线性无关特征向量；λ₃＝3是A的一个特征值，α₃＝(1，1，1)^T为A的属于特征值3的特征向量．总之，A的特征值为0，0，3．属于特征值0的全体特征向量为k₁α₁＋k₂α₂(k₁，k₂不全为零)，属于特征值3的全体特征向量为k₃α₃(k₃≠0)． (Ⅱ)对α₁，α₂正交化．令ξ₁＝α₁＝(－1，2，－1)^T [*] 再分别将ξ₁，ξ₂，α₃单位化，得 [*] 那么Q为正交矩阵，且Q^TAQ＝A．

解析

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考研数学二

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(2006年)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1＝(－1，2，－1)T，α2＝(0，－1，1)T是线性方程组Aχ＝0的两个解． (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ＝A．

考研数学二

对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X).E(Y)，则()．

已知α1=(1,2,3)T,α2=(－2,1,－1)T和β1=(4,－2,α)T，β2=(7,b,4)T是等价向量组，则参数a,b应分别为()。

A为四阶方阵，方程组AX=0的通解为x=k1(1，0，1，0)T+k2(0，0，0，1)T，A的伴随矩阵为A，则秩(A)*=()．

以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的微分方程是________．

函数y=Cx+(其中C为任意常数)对微分方程而言()．

设y1(x)，y2(x)为二阶齐次线性微分方程y”+P(x)y’+q(x)y=0的两个特解，y1≠0，y2≠0，则y=c1y1(x)+c2y2(x)(其中c1，c2为任意常数)为该方程通解的充要条件为()．

求常数项级数的和：

设an=∫0π/4tannxdx，证明：对任意常数λ＞0，级数收敛．

Theresearchscientistsoftenmeetwithproblems________newtypesofinstrumentsforsolutions.

药物注册申报资料中有境外药物研究机构提供的药物试验研究资料的必须附有

某任意一个投资方案的静态投资回收期一定(　　)动态投资回收期。

下列关于资源税征收管理的表述中，错误的是()。

金融市场发展对商业银行的促进作用不包括()。

2011年一季度，中部六省中社会消费品零售总额最大的是()。

有限责任公司区别于股份有限公司的重要特征之一是()

在宪法修改中,()需要严格限制。

Whenmedal-winningathletesreturnhomefromtheOlympicGames,theirfamemaybeshort-lived,buttheycanlookforwardtoalo

(2006年)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1＝(－1，2，－1)T，α2＝(0，－1，1)T是线性方程组Aχ＝0的两个解． (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ＝A．

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