已知4维列向量α1,α2,α3线性无关，若βi(i=1，2，3，4)非零且与α1,α2,α3均正交，则秩r(β1，β2，β3，β4)=

admin2022-06-19 76

问题已知4维列向量α₁,α₂,α₃线性无关，若β_i(i=1，2，3，4)非零且与α₁,α₂,α₃均正交，则秩r(β₁，β₂，β₃，β₄)=

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案A

解析设α₁=(α₁₁,α₁₂,α₁₃,α₁₄)^T，α₂=(α₂₁,α₂₂,α₂₃,α₂₄)^T，α₃=(α₃₁,α₃₂,α₃₃,α₃₄)^T，那么β_i与α₁,α₂,α₃均正交，即内积β_i^Tα_i=0(j=1，2，3，4)．亦即β_i(j=1，2，3，4)是齐次方程组

的非零解．由于α₁,α₂,α₃线性无关，故系数矩阵的秩为3．所以基础解系有4—3=1个解向量．从而r(β₁，β₂，β₃，β₄)=1．故应选A．

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