设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.证明：存在ξi∈(a,b)(i=1,2),且ξ1≠ξ2,使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1,2).

admin2021-11-25 22

问题设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,∫_a^bf(x)dx=0.证明：
存在ξ_i∈(a,b)(i=1,2),且ξ₁≠ξ₂,使得f’(ξ_i)+f(ξ_i)=0(i=1,2).

选项

答案令h(x)=e^xf(x),因为h(a)=h(c)=h(b)=0,所以由罗尔定理，存在ξ₁∈(a,c),ξ₂∈(c,b)，使得h’(ξ₁)=h’(ξ₂)=0 而h’(x)=e^x[f’(x)+f(x)]且e^x≠0,所以f’(ξ_i)+f(ξ_i)=0(i=1,2）.

解析

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考研数学二

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