2. 考研
  3. 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.证明： 存在ξi∈(a,b)(i=1,2),且ξ1≠ξ2,使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1,2).

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.证明： 存在ξi∈(a,b)(i=1,2),且ξ1≠ξ2,使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1,2).

admin2021-11-25  31
问题 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.证明：
存在ξi∈(a,b)(i=1,2),且ξ1≠ξ2,使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1,2).
选项
答案令h(x)=exf(x),因为h(a)=h(c)=h(b)=0,所以由罗尔定理，存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0 而h’(x)=ex[f’(x)+f(x)]且ex≠0,所以f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1,2）.
解析
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考研数学二

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