求二元函数zf(x,y)=x2y(4一x一y)在直线x+y=6,x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值。

admin2020-03-16  65

问题 求二元函数zf(x,y)=x2y(4一x一y)在直线x+y=6,x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值。

选项

答案先求在D内的驻点,即[*] 因此在D内只有驻点[*]相应的函数值为f(2,1)=4。 再求f(x,y)在D边界上的最值 ①在x轴上y=0,所以f(x,0)=0。 ②在y轴上x=0,所以f(0,y)=0。 ③在x+y=6上,将y=6一x代入f(x,y)中,得f(x,y)=2x2(x一6), 因此fx’=6x2一24x=0得x=0(舍),x=0所以y=6一x=2。于是得驻点[*],相应的函数值f(4,2)=x2y(4一x一y)|(4,2)=一64。综上所述,最大值为f(2,1)=4,最小值为f(4,2)=一64。

解析
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