设A=，则下列矩阵中与A合同但不相似的是( )。

admin2018-11-16 37

问题设A=

，则下列矩阵中与A合同但不相似的是( )。

选项 A、

B、

C、

D、

答案D

解析首先可排除答案A，因为r(A)=2，而答案A的矩阵的秩为1，所以它与A不合同。两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的特征值的正负性一样，(即正，负数的个数对应相等)而相似的充分必要条件是它们的特征值相同，因此应该从计算特征值下手。
求出︳λE-A︳=λ(λ+3) (λ-3)，A的特征值为0，-3，3。显然答案C中矩阵的特征值也是0，-3，3，因此它和答案A相似，可排除。剩下答案B和答案D两个矩阵中，只要看一个，答案D中矩阵的特征值容易求出，为0，-1，1，因此它和A合同而不相似。(也可计算出答案B中矩阵的特征值为0，1，4，因此它和A不合同。)

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考研数学三

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