设两个随机变量X与Y相互独立且同分布:P(X=-1)=P(y=-1)=1/2,P(X=1)=P(Y-1)=1/2,则下列各式中成立的是( ).

admin2019-04-09  32

问题 设两个随机变量X与Y相互独立且同分布:P(X=-1)=P(y=-1)=1/2,P(X=1)=P(Y-1)=1/2,则下列各式中成立的是(    ).

选项 A、P(X=Y)=1/2
B、P(X=Y)=1
C、P(X+Y=0)=1/4
D、P(XY=1)=1/4

答案A

解析 解一  仅(A)入选.首先要注意X与Y同分布绝不是X=Y或P(X=Y)=1.下面将随机变量表示的事件{X=Y),{X+Y}及{XY}分解为互斥事件的和事件,再求其概率.
      {X=Y}={X=1,Y=1}+{X=-1,Y=-1}    (两事件互斥),
      {X+Y=0}={X=1,Y=-1}+{X=-1,Y=1)  (两事件互斥),
      {XY}=1={X=1,Y=1}+{X=-1,Y=-1}    (两事件互斥).
再由两事件的独立性及互斥性,由已给的分布得到
    P(X=Y)=P(X=1,Y=1)+P(X=-1,Y=-1)
          =P(X=1)P(Y=1)+P(X=-1)P(Y=-1)
          =2×(1/4)=1/2,
    P(X+Y=0)=P(X=1,Y=-1)+P(X=-1,Y=1)
         =P(X=1)P(Y=-1)+P(X=-1)P(Y=1)=1/2,
    P(XY=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=-1,Y=-1)
           =P(X=1)P(Y=1)+P(X=-1)P(Y=-1)-1/2.
    解二  仅(A)入选.用同一表格法求之.由题设条件易求得
           
故P(X=Y)=P(X=-1,Y=-1)+P(X=Y=1)=1/4+1/4=1/2,
    P(X+Y=0)=P(X=-1,Y=1)+P(X=1,Y=-1)=1/4+1/4=1/2,
    P(XY=1)=P(X=-1,Y=-1)+P(X=1,Y=1)=1/4+1/4=1/2.
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