2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22一y32，其中P=(e1，e2，e3)，若Q=(e1，一e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为( )

设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22一y32，其中P=(e1，e2，e3)，若Q=(e1，一e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为( )

admin2021-01-19  39
问题 设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22一y32，其中P=(e1，e2，e3)，若Q=(e1，一e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为(    )
选项 A、2y12—y22+y32。
B、2y12+y22一y32。
C、2y12一y22一y32。
D、2y12+y22+y32。
答案A
解析 方法一：由题设可知f=xTAx=yT(PTAP)y=2y12+y22一y32。且

QTAQ=BT(PTAP)B=。
所以f=xTAx=yT(QTAQ)y=2y12—y22+y32。答案选A。
方法二：由题意可知，二次型f(x1，x2，x3)的矩阵A的特征值为2，1，一1，对应的特征向量分别为e1，e2，e3。由特征向量的性质可知，e1，e2，一e3仍然分别是属于特征值2，1，一1的特征向量，同时e1，e2，一e3仍为单位正交向量组，故QTAQ=diag{2，一1，1}。所以二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为2y12一y22+y32。故选A。
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考研数学二

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