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设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22一y32，其中P=(e1，e2，e3)，若Q=(e1，一e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为( )
设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22一y32，其中P=(e1，e2，e3)，若Q=(e1，一e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为( )
admin
2021-01-19
44
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)在正交变换x=Py下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
一y
3
2
，其中P=(e
1
，e
2
，e
3
)，若Q=(e
1
，一e
3
，e
2
)，则f(x
1
，x
2
，x
3
)在正交变换x=Qy下的标准形为( )
选项
A、2y
1
2
—y
2
2
+y
3
2
。
B、2y
1
2
+y
2
2
一y
3
2
。
C、2y
1
2
一y
2
2
一y
3
2
。
D、2y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
。
答案
A
解析
方法一：由题设可知f=x
T
Ax=y
T
(P
T
AP)y=2y
1
2
+y
2
2
一y
3
2
。且
Q
T
AQ=B
T
(P
T
AP)B=
。
所以f=x
T
Ax=y
T
(Q
T
AQ)y=2y
1
2
—y
2
2
+y
3
2
。答案选A。
方法二：由题意可知，二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)的矩阵A的特征值为2，1，一1，对应的特征向量分别为e
1
，e
2
，e
3
。由特征向量的性质可知，e
1
，e
2
，一e
3
仍然分别是属于特征值2，1，一1的特征向量，同时e
1
，e
2
，一e
3
仍为单位正交向量组，故Q
T
AQ=diag{2，一1，1}。所以二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)在正交变换x=Qy下的标准形为2y
1
2
一y
2
2
+y
3
2
。故选A。
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