2. 考研
  3. 设总体X的概率密度为f(x；θ)＝其中θ＞0是未知参数．从总体中抽取简单随机样本X1，X2，…，Xn． (Ⅰ)求θ的最大似然估计量； (Ⅱ)求随机变量的分布函数 (Ⅲ)求随机变量的数学期望．

设总体X的概率密度为f(x；θ)＝其中θ＞0是未知参数．从总体中抽取简单随机样本X1，X2，…，Xn． (Ⅰ)求θ的最大似然估计量； (Ⅱ)求随机变量的分布函数 (Ⅲ)求随机变量的数学期望．

admin2020-10-30  50
问题 设总体X的概率密度为f(x；θ)＝其中θ＞0是未知参数．从总体中抽取简单随机样本X1，X2，…，Xn．
(Ⅰ)求θ的最大似然估计量；
(Ⅱ)求随机变量的分布函数
(Ⅲ)求随机变量的数学期望．
选项
答案(Ⅰ)样本的似然函数为[*]，其中xi＞θ，i＝1，2，…，n． 取对数，得 [*]， 因为[*]，则L(θ)是θ的单调增函数， 又因为θ＜x1，θ＜x2，…，θ＜xn，所以当θ＝min{x1，x2，…，xn}时L(θ)最大． 故θ的最大似然估计量θ＝min{X1，X2，…，Xn)． (Ⅱ)总体X的分布函数为FX(x)＝[*]． 当x≤θ时，FX(x)＝0； 当x＞θ时，FX(x)＝[*]， 故总体X的分布函数FX(x)为[*] θ的分布函数为[*]＝P{min{X1，X2，…，Xn)≤x}＝1－P{min{X1，X2，…，Xn}＞x}＝1－P{X1＞x}P{X2＞x>…P{Xn＞x>＝1－［1－FX(x)]n24 [*]． (Ⅲ)由(Ⅱ)知，θ的概率密度为[*] 故随机变量θ的数学期望为[*]
解析
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考研数学三

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