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设总体X的概率密度为f(x;θ)=其中θ>0是未知参数.从总体中抽取简单随机样本X1,X2,…,Xn. (Ⅰ)求θ的最大似然估计量; (Ⅱ)求随机变量的分布函数 (Ⅲ)求随机变量的数学期望.
设总体X的概率密度为f(x;θ)=其中θ>0是未知参数.从总体中抽取简单随机样本X1,X2,…,Xn. (Ⅰ)求θ的最大似然估计量; (Ⅱ)求随机变量的分布函数 (Ⅲ)求随机变量的数学期望.
admin
2020-10-30
61
问题
设总体X的概率密度为f(x;θ)=
其中θ>0是未知参数.从总体中抽取简单随机样本X
1
,X
2
,…,X
n
.
(Ⅰ)求θ的最大似然估计量
;
(Ⅱ)求随机变量
的分布函数
(Ⅲ)求随机变量
的数学期望
.
选项
答案
(Ⅰ)样本的似然函数为[*],其中x
i
>θ,i=1,2,…,n. 取对数,得 [*], 因为[*],则L(θ)是θ的单调增函数, 又因为θ<x
1
,θ<x
2
,…,θ<x
n
,所以当θ=min{x
1
,x
2
,…,x
n
}时L(θ)最大. 故θ的最大似然估计量θ=min{X
1
,X
2
,…,X
n
). (Ⅱ)总体X的分布函数为F
X
(x)=[*]. 当x≤θ时,F
X
(x)=0; 当x>θ时,F
X
(x)=[*], 故总体X的分布函数F
X
(x)为[*] θ的分布函数为[*]=P{min{X
1
,X
2
,…,X
n
)≤x}=1-P{min{X
1
,X
2
,…,X
n
}>x}=1-P{X
1
>x}P{X
2
>x>…P{X
n
>x>=1-[1-F
X
(x)]
n
24 [*]. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,θ的概率密度为[*] 故随机变量θ的数学期望为[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ADx4777K
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考研数学三
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