2. 考研
  3. [2009年] 设曲线y=f(x)，其中f(x)是可导函数，且f(x)＞0，已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍．求该曲线方程．

[2009年] 设曲线y=f(x)，其中f(x)是可导函数，且f(x)＞0，已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍．求该曲线方程．

admin2019-03-30  65
问题 [2009年]  设曲线y=f(x)，其中f(x)是可导函数，且f(x)＞0，已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍．求该曲线方程．
选项
答案由题设有[*]两边对t求导得到 [*] 再求导得到2f(t)f’(t)=2f(t)+tf’(t)．令f(t)=y，整理得到 [*] 显然这是一阶齐次微分方程，令[*]则[*]代入式②得到[*]分离变量得 [*] 两边积分得到[*]即 u－1/3(3－2u)－2/3=Ct． ③ 当t=1时，由式①得到f(t)=1或f(t)=0．因f(t)＞0，故f(t)=1，即y=1，从而u=1，代入式③得C=1．由式③得到 1／t=u1/3(3－2u)2/3， 即 u(3－2u)2=1／t3， 代入u=y／t化简得y(3t－2y)2=1， 即[*] 故所求曲线方程为[*] 解二 由式①得[*]即[*] 其通解为[*] 因t=1时，y=1，即f(1)=1，故C=1／3，因而[*]故所求曲线方程为 [*]
解析
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考研数学三

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