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[2009年] 设曲线y=f(x),其中f(x)是可导函数,且f(x)>0,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=1及x=t(t>1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍.求该曲线方程.
[2009年] 设曲线y=f(x),其中f(x)是可导函数,且f(x)>0,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=1及x=t(t>1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍.求该曲线方程.
admin
2019-03-30
32
问题
[2009年] 设曲线y=f(x),其中f(x)是可导函数,且f(x)>0,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=1及x=t(t>1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍.求该曲线方程.
选项
答案
由题设有[*]两边对t求导得到 [*] 再求导得到2f(t)f’(t)=2f(t)+tf’(t).令f(t)=y,整理得到 [*] 显然这是一阶齐次微分方程,令[*]则[*]代入式②得到[*]分离变量得 [*] 两边积分得到[*]即 u
-1/3
(3-2u)
-2/3
=Ct. ③ 当t=1时,由式①得到f(t)=1或f(t)=0.因f(t)>0,故f(t)=1,即y=1,从而u=1,代入式③得C=1.由式③得到 1/t=u
1/3
(3-2u)
2/3
, 即 u(3-2u)
2
=1/t
3
, 代入u=y/t化简得y(3t-2y)
2
=1, 即[*] 故所求曲线方程为[*] 解二 由式①得[*]即[*] 其通解为[*] 因t=1时,y=1,即f(1)=1,故C=1/3,因而[*]故所求曲线方程为 [*]
解析
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考研数学三
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