设函数f(x)在[a,+∞)内二阶可导且f’’(x)a，f’(b)>0，f’(b)0，则方程f(x)=0在[a，+∞)内有且仅有一个实根.

admin2014-02-05 63

问题设函数f(x)在[a,+∞)内二阶可导且f^’’(x)<0，又b>a，f^’(b)>0，f^’(b)<0，求证：
设又有f(a)>0，则方程f(x)=0在[a，+∞)内有且仅有一个实根.

选项

答案(Ⅲ)由题(Ⅱ)只须证f(x)>0(x∈[a，b])．当x∈[a，b]时，由于f^’(b)<0，f^’(x)[*]，只有以下两种情形：1。f^’(a)≤0，f^’(x)<0(x∈(a，b])→f(x)在[a，b][*]，如图(1)→f(x)≥f(b)>0(x∈[a，b])；[*][*]2。[*]x₀∈(a，b)，如图(2)，[*]→f(x)≥f(a)>0(a≤x≤x₀)，f(x)≥f(b)>0(x₀≤x≤b)→f(x)>0(x∈[a，b])．因此f(x)在[a，+∞)有唯一零点，即方程f(x)=0在[a，+∞)有且仅有一个实根．

解析

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考研数学二

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