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设函数f(x)在[a,+∞)内二阶可导且f’’(x)a,f’(b)>0,f’(b)0,则方程f(x)=0在[a,+∞)内有且仅有一个实根.
设函数f(x)在[a,+∞)内二阶可导且f’’(x)a,f’(b)>0,f’(b)0,则方程f(x)=0在[a,+∞)内有且仅有一个实根.
admin
2014-02-05
36
问题
设函数f(x)在[a,+∞)内二阶可导且f
’’
(x)<0,又b>a,f
’
(b)>0,f
’
(b)<0,求证:
设又有f(a)>0,则方程f(x)=0在[a,+∞)内有且仅有一个实根.
选项
答案
(Ⅲ)由题(Ⅱ)只须证f(x)>0(x∈[a,b]).当x∈[a,b]时,由于f
’
(b)<0,f
’
(x)[*],只有以下两种情形:1。f
’
(a)≤0,f
’
(x)<0(x∈(a,b])→f(x)在[a,b][*],如图(1)→f(x)≥f(b)>0(x∈[a,b]);[*][*]2。[*]x
0
∈(a,b),如图(2),[*]→f(x)≥f(a)>0(a≤x≤x
0
),f(x)≥f(b)>0(x
0
≤x≤b)→f(x)>0(x∈[a,b]).因此f(x)在[a,+∞)有唯一零点,即方程f(x)=0在[a,+∞)有且仅有一个实根.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/AF34777K
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考研数学二
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