设函数f(x)在[a,+∞)内二阶可导且f’’(x)a,f’(b)>0,f’(b)0,则方程f(x)=0在[a,+∞)内有且仅有一个实根.

admin2014-02-05  39

问题 设函数f(x)在[a,+∞)内二阶可导且f’’(x)<0,又b>a,f(b)>0,f(b)<0,求证:
设又有f(a)>0,则方程f(x)=0在[a,+∞)内有且仅有一个实根.

选项

答案(Ⅲ)由题(Ⅱ)只须证f(x)>0(x∈[a,b]).当x∈[a,b]时,由于f(b)<0,f(x)[*],只有以下两种情形:1。f(a)≤0,f(x)<0(x∈(a,b])→f(x)在[a,b][*],如图(1)→f(x)≥f(b)>0(x∈[a,b]);[*][*]2。[*]x0∈(a,b),如图(2),[*]→f(x)≥f(a)>0(a≤x≤x0),f(x)≥f(b)>0(x0≤x≤b)→f(x)>0(x∈[a,b]).因此f(x)在[a,+∞)有唯一零点,即方程f(x)=0在[a,+∞)有且仅有一个实根.

解析
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