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  3. A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，试证明： (1)aij=Aij←→ATA=E且｜A｜=1； (2)aij=一Aij←→ATA=E且｜A｜=一1．

A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，试证明： (1)aij=Aij←→ATA=E且｜A｜=1； (2)aij=一Aij←→ATA=E且｜A｜=一1．

admin2019-07-22  45
问题 A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，试证明：
(1)aij=Aij←→ATA=E且｜A｜=1；
(2)aij=一Aij←→ATA=E且｜A｜=一1．
选项
答案(1)当aij=Aij时，有AT=A*，则ATA=AA*=｜A｜E。由于A为行阶非零实矩阵，即不全为0，所以tr(AAT)=[*]aij＞0．而tr(AAT)=tr(｜A｜E)=n｜A｜，这说明｜A｜＞0。在AAT=｜A｜E两边取行列式，得｜A｜n一2=1，｜A｜=1． 反之，若ATA=E且｜A｜=1，则A*A=｜A｜E=E且A可逆，于是ATA=A*A，AT=A*，即aij=Aij． (2)当aij=一Aij时，有AT=一A*，则ATA=一A*A=一｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即aij不全为0，所以｜A｜=[*]aij＜0．在ATA=一｜A｜E两边取行列式得｜A｜=一1． 反之，若ATA=E且｜A｜=一11，由于A*A=｜A｜E=一E，于是ATA=一A*A．进一步，由于A可逆，得AT=一A*，即aij=一Aij．
解析
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考研数学二

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