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A为n(n≥3)阶非零实矩阵,Aij为A中元素aij的代数余子式,试证明: (1)aij=Aij←→ATA=E且|A|=1; (2)aij=一Aij←→ATA=E且|A|=一1.
A为n(n≥3)阶非零实矩阵,Aij为A中元素aij的代数余子式,试证明: (1)aij=Aij←→ATA=E且|A|=1; (2)aij=一Aij←→ATA=E且|A|=一1.
admin
2019-07-22
54
问题
A为n(n≥3)阶非零实矩阵,A
ij
为A中元素a
ij
的代数余子式,试证明:
(1)a
ij
=A
ij
←→A
T
A=E且|A|=1;
(2)a
ij
=一A
ij
←→A
T
A=E且|A|=一1.
选项
答案
(1)当a
ij
=A
ij
时,有A
T
=A
*
,则A
T
A=AA
*
=|A|E。由于A为行阶非零实矩阵,即不全为0,所以tr(AA
T
)=[*]a
ij
>0.而tr(AA
T
)=tr(|A|E)=n|A|,这说明|A|>0。在AA
T
=|A|E两边取行列式,得|A|
n一2
=1,|A|=1. 反之,若A
T
A=E且|A|=1,则A
*
A=|A|E=E且A可逆,于是A
T
A=A
*
A,A
T
=A
*
,即a
ij
=A
ij
. (2)当a
ij
=一A
ij
时,有A
T
=一A
*
,则A
T
A=一A
*
A=一|A|E.由于A为n阶非零实矩阵,即a
ij
不全为0,所以|A|=[*]a
ij
<0.在A
T
A=一|A|E两边取行列式得|A|=一1. 反之,若A
T
A=E且|A|=一11,由于A
*
A=|A|E=一E,于是A
T
A=一A
*
A.进一步,由于A可逆,得A
T
=一A
*
,即a
ij
=一A
ij
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/AFN4777K
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