A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，试证明： (1)aij=Aij←→ATA=E且｜A｜=1； (2)aij=一Aij←→ATA=E且｜A｜=一1．

admin2019-07-22 58

问题 A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A_ij为A中元素a_ij的代数余子式，试证明：
(1)a_ij=A_ij←→A^TA=E且｜A｜=1；
(2)a_ij=一A_ij←→A^TA=E且｜A｜=一1．

选项

答案(1)当a_ij=A_ij时，有A^T=A^*，则A^TA=AA^*=｜A｜E。由于A为行阶非零实矩阵，即不全为0，所以tr(AA^T)=[*]a_ij＞0．而tr(AA^T)=tr(｜A｜E)=n｜A｜，这说明｜A｜＞0。在AA^T=｜A｜E两边取行列式，得｜A｜^n一2=1，｜A｜=1．反之，若A^TA=E且｜A｜=1，则A^*A=｜A｜E=E且A可逆，于是A^TA=A^*A，A^T=A^*，即a_ij=A_ij． (2)当a_ij=一A_ij时，有A^T=一A^*，则A^TA=一A^*A=一｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即a_ij不全为0，所以｜A｜=[*]a_ij＜0．在A^TA=一｜A｜E两边取行列式得｜A｜=一1．反之，若A^TA=E且｜A｜=一11，由于A^*A=｜A｜E=一E，于是A^TA=一A^*A．进一步，由于A可逆，得A^T=一A^*，即a_ij=一A_ij．

解析

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考研数学二

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A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，试证明： (1)aij=Aij←→ATA=E且｜A｜=1； (2)aij=一Aij←→ATA=E且｜A｜=一1．

考研数学二

设A为m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是()

设f(χ，y)＝讨论函数f(χ，y)在点(0，0)处的连续性与可偏导性．

设z＝yf(χ2－y2)，其中f可导，证明：

假设A是n阶方阵，其秩(A)=r＜n，那么在A的n个行向量中()．

设向量组α1，α2，…，αs为齐次线性方程组AX一0的一个基础解系，Aβ≠0．证明：齐次线性方程组BY＝0只有零解，其中B＝(β，β＋α1，…，β＋αs)．

求函数f(χ)＝(2－t)e－tdt的最大值与最小值．

当x∈[0，1]时，f’’(x)＞0，则f’(0)，f’(1)，f(1)-f(0)的大小次序为()．

设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)，且f(χ)在[a，b]上不恒为常数．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f′(ξ)＞0，f′(η)＜0．

设A为n阶矩阵且r(A)=n-1．证明：存在常数k，使得(A)2=kA．

交换积分次序并计算∫0adx∫0x

对于急性肺水肿患儿吸氧时，湿化瓶内装乙醇的浓度是

长期胃肠外营养的患者置管的部位是

老年人心理健康主要测量的是

肾病综合征用糖皮质激素治疗原则（　　）。

韩某原户籍所在地为甲地，半年前将户口迁往乙地，后韩某因故未落户，因违反买卖合同约定未交付货物被起诉。合同约定于丙地交付，原告住所地为丁地，本案的管辖法院()。

(2010年)已知质点沿半径为40cm的圆周运动，其运动规律为：s=20t(s以cm计，t以s计)。若t=1s，则点的速度与加速度的大小为()。

下列IPv6地址5FE0：0：0：0601：BC：0：0：05D7的简化表示，错误的是()。

Recentlythecarfactoryhadtocarryoutpersonnel______becauseoffinancialtrouble.

WhenyoutalkaboutChinaandIndia’sseeminglyunstoppablegrowth,nobody’ssurprised.Afterall,theincreasingeconomicstren

A、Togetinformationonone-wayticketstoCanada.B、Toinquireaboutthepriceof"SuperSaver"seats.C、Togetadviceonhowt

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假设A是n阶方阵，其秩(A)=r＜n，那么在A的n个行向量中()．

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求函数f(χ)＝(2－t)e－tdt的最大值与最小值．

当x∈[0，1]时，f’’(x)＞0，则f’(0)，f’(1)，f(1)-f(0)的大小次序为()．

设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)，且f(χ)在[a，b]上不恒为常数．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f′(ξ)＞0，f′(η)＜0．

设A为n阶矩阵且r(A)=n-1．证明：存在常数k，使得(A*)2=kA*．

交换积分次序并计算∫0adx∫0x

对于急性肺水肿患儿吸氧时，湿化瓶内装乙醇的浓度是

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韩某原户籍所在地为甲地，半年前将户口迁往乙地，后韩某因故未落户，因违反买卖合同约定未交付货物被起诉。合同约定于丙地交付，原告住所地为丁地，本案的管辖法院()。

(2010年)已知质点沿半径为40cm的圆周运动，其运动规律为：s=20t(s以cm计，t以s计)。若t=1s，则点的速度与加速度的大小为()。

下列IPv6地址5FE0：0：0：0601：BC：0：0：05D7的简化表示，错误的是()。

Recentlythecarfactoryhadtocarryoutpersonnel______becauseoffinancialtrouble.

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