A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，试证明： (1)aij=Aij←→ATA=E且｜A｜=1； (2)aij=一Aij←→ATA=E且｜A｜=一1．

admin2019-07-22 54

问题 A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A_ij为A中元素a_ij的代数余子式，试证明：
(1)a_ij=A_ij←→A^TA=E且｜A｜=1；
(2)a_ij=一A_ij←→A^TA=E且｜A｜=一1．

选项

答案(1)当a_ij=A_ij时，有A^T=A^*，则A^TA=AA^*=｜A｜E。由于A为行阶非零实矩阵，即不全为0，所以tr(AA^T)=[*]a_ij＞0．而tr(AA^T)=tr(｜A｜E)=n｜A｜，这说明｜A｜＞0。在AA^T=｜A｜E两边取行列式，得｜A｜^n一2=1，｜A｜=1．反之，若A^TA=E且｜A｜=1，则A^*A=｜A｜E=E且A可逆，于是A^TA=A^*A，A^T=A^*，即a_ij=A_ij． (2)当a_ij=一A_ij时，有A^T=一A^*，则A^TA=一A^*A=一｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即a_ij不全为0，所以｜A｜=[*]a_ij＜0．在A^TA=一｜A｜E两边取行列式得｜A｜=一1．反之，若A^TA=E且｜A｜=一11，由于A^*A=｜A｜E=一E，于是A^TA=一A^*A．进一步，由于A可逆，得A^T=一A^*，即a_ij=一A_ij．

解析

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考研数学二

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A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，试证明： (1)aij=Aij←→ATA=E且｜A｜=1； (2)aij=一Aij←→ATA=E且｜A｜=一1．

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