设F(χ)=g(χ)φ(χ),φ(χ)在χ=a连续但不可导,又g′(a)存在,则g(a)=0是F(χ)在χ=a可导的( )条件.

admin2016-10-21  35

问题 设F(χ)=g(χ)φ(χ),φ(χ)在χ=a连续但不可导,又g′(a)存在,则g(a)=0是F(χ)在χ=a可导的(    )条件.

选项 A、充分必要
B、充分非必要
C、必要非充分
D、既非充分也非必要

答案A

解析 ①因为φ′(a)不存在,所以不能对g(χ)φ(χ)用乘积的求导法则;②当g(a)≠0时,若F(χ)在χ=a可导,可对用商的求导法则.
    (Ⅰ)若g(a)=0,按定义考察

    即F′(a)=g′(a)φ(a).
    (Ⅱ)再用反证法证明:若F′(a)存在,则必有g(a)=0.若g(a)≠0,由商的求导法则即知φ(χ)=在χ=a可导,与假设条件φ(a)在χ=a处不可导矛盾.因此应选A.
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