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设函数f(x)在x0的某一邻域内具有直到n阶的连续导数,且f’(x0)=f"(x0)=…..=f(n-1)(x0)=0,而f(n)(x0)≠0,试证: 当n为偶数,且f(n)(x0)>0时,则f(x0)为极小值;当n为偶数.且f(n)(x0)<0时,则f
设函数f(x)在x0的某一邻域内具有直到n阶的连续导数,且f’(x0)=f"(x0)=…..=f(n-1)(x0)=0,而f(n)(x0)≠0,试证: 当n为偶数,且f(n)(x0)>0时,则f(x0)为极小值;当n为偶数.且f(n)(x0)<0时,则f
admin
2022-09-05
36
问题
设函数f(x)在x
0
的某一邻域内具有直到n阶的连续导数,且f’(x
0
)=f"(x
0
)=…..=f
(n-1)
(x
0
)=0,而f
(n)
(x
0
)≠0,试证:
当n为偶数,且f
(n)
(x
0
)>0时,则f(x
0
)为极小值;当n为偶数.且f
(n)
(x
0
)<0时,则f(x
0
)为极大值。
选项
答案
因为f’(x
0
)=f"(x
0
)=…..=f
(n-1)
(x
0
)=0,由泰勒公式有 [*] 因为f
(n)
(x)在x
0
连续,且f
(n)
(x
0
)≠0,所以必存在x
0
的某一邻域(x
0
-δ,x
0
+δ),使对于该邻域内任意x,f
(n)
(x)与f
(n)
(x
0
)同号,进而f
(n)
(ξ)与f
(n)
(x
0
)同号,于是在f
(n)
(x
0
)的符号确定后,f(x)-f(x
0
)的符号完全取决于(x-x
0
)
n
的符号。 当n为偶数时,(x-x
0
)
n
≥0 当f
(n)
(x
0
)<0时,f(x)-f(x
0
)≤0,即f(x)≤f(x
0
),从而f(x
0
)为极大值; 当f
(n)
(x
0
)>0时,f(x)-f(x
0
)≥0,即f(x)≥f(x
0
),从而f(x
0
)为极小值。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ScR4777K
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考研数学三
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