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  3. 设函数f(x)在x0的某一邻域内具有直到n阶的连续导数,且f’(x0)=f"(x0)=…..=f(n-1)(x0)=0，而f(n)(x0)≠0,试证: 当n为偶数,且f(n)(x0)＞0时，则f(x0)为极小值;当n为偶数.且f(n)(x0)＜0时,则f

设函数f(x)在x0的某一邻域内具有直到n阶的连续导数,且f’(x0)=f"(x0)=…..=f(n-1)(x0)=0，而f(n)(x0)≠0,试证: 当n为偶数,且f(n)(x0)＞0时，则f(x0)为极小值;当n为偶数.且f(n)(x0)＜0时,则f

admin2022-09-05  72
问题 设函数f(x)在x0的某一邻域内具有直到n阶的连续导数,且f’(x0)=f"(x0)=…..=f(n-1)(x0)=0，而f(n)(x0)≠0,试证:
当n为偶数,且f(n)(x0)＞0时，则f(x0)为极小值;当n为偶数.且f(n)(x0)＜0时,则f(x0)为极大值。
选项
答案因为f’(x0)=f"(x0)=…..=f(n-1)(x0)=0，由泰勒公式有 [*] 因为f(n)(x)在x0连续，且f(n)(x0)≠0，所以必存在x0的某一邻域(x0－δ，x0+δ），使对于该邻域内任意x,f(n)(x)与f(n)(x0)同号，进而f(n)(ξ)与f(n)(x0)同号，于是在f(n)(x0)的符号确定后，f(x)－f(x0)的符号完全取决于(x－x0)n的符号。 当n为偶数时，(x－x0)n≥0 当f(n)(x0)＜0时，f(x)－f(x0)≤0,即f(x)≤f(x0)，从而f(x0)为极大值； 当f(n)(x0)＞0时，f(x)－f(x0)≥0，即f(x)≥f(x0)，从而f(x0)为极小值。
解析
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考研数学三

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