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  3. 讨论曲线y＝2lnχ与y＝2χ＋ln2χ＋k在(0，＋∞)内的交点个数(其中k为常数)．

讨论曲线y＝2lnχ与y＝2χ＋ln2χ＋k在(0，＋∞)内的交点个数(其中k为常数)．

admin2016-10-21  56
问题 讨论曲线y＝2lnχ与y＝2χ＋ln2χ＋k在(0，＋∞)内的交点个数(其中k为常数)．
选项
答案令f(χ)＝2χ＋ln2χ＋k－2lnχ(χ∈(0，＋∞))，于是本题两曲线交点个数即为函数f(χ)的零点个数．由 f′(χ)＝2＋[*](χ＋lnχ－1)， 令g(χ)＝χ＋lnχ－1 g′(χ)＝[*] 令f′(χ)＝0可解得唯一驻点χ0＝1∈(0，＋∞)． 当0＜χ＜1时f′(χ)＜0，f(χ)在(0，1]单调减少；而当χ＞1时f′(χ)＞0，f(χ)在[1，＋∞)单调增加．于是f(1)＝2＋k为f(χ)在(0，＋∞)内唯一的极小值点，且为(0，＋∞)上的最小值点．因此f(χ)的零点个数与最小值f(1)＝2＋k的符号有关． 当f(1)＞0即k＞－2时f(χ)在(0，＋∞)内恒值函数，无零点． 当f(1)＝0即k＝－2时f(χ)在(0，＋∞)内只有一个零点χ0＝1． 当f(1)＜0即k＜－2时需进一步考察f(χ)在χ→0+与χ→∞的极限： [*])[2(χ＋k)＋lnχ(lnχ－2)]＝＋∞， [*][(2(χ＋k)＋lnχ(lnχ－2)]＝＋∞， 由连续函数的零点定理可得，[*]χ1∈(0，1)与χ2∈(1，＋∞)使得f(χ1)＝f(χ2)＝0，且由f(χ)在(0，1)与(1，＋∞)内单调可知f(χ)在(0，1)内与(1，＋∞)内最多各有一个零点，所以当k＜－2时，f(χ)在(0，＋∞)内恰有两个零点．
解析
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考研数学二

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