设f(x)的一阶导数在[0,1]上连续,f(0)=f(1)=0求证: |∫01f(x)dx|≤|f’(x)|

admin2022-10-08  41

问题 设f(x)的一阶导数在[0,1]上连续,f(0)=f(1)=0求证:
|∫01f(x)dx|≤|f’(x)|

选项

答案由题设可知,f(x)在[0,1]上满足拉格朗日中值定理,于是有 f(x)=f(x)-f(0)=xf’(ξ1),ξ1∈(0,x) f(x)=f(x)-f(1)=(x-1)f’(ξ2),ξ2∈(x,1) 又∫01f(x)dx=∫0xf(t)dt+∫x1f(t)dt=∫0xf’(ξ1)tdt+∫x1f’(ξ2)(t-1)dt 所以对任意的x∈[0,1]有 |∫01f(x)dx|≤|∫0xf’(ξ1)tdt|+|∫x1f’(ξ2)(t-1)dt| ≤∫0x|f’(ξ1)|t|dt+∫x1|f’(ξ2)|t-1|dt =∫0x|f’(ξ1)|tdt+∫x1|f’(ξ2)|(1-t)dt ≤[*]|f’(x)|[∫0xtdt+∫x1(1-t)dt] =[*]|f’(x)|·[*][x2+(1-x)2] 令x=[*],即得|∫01f(x)dx|≤[*]|f’(x)|.

解析
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