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  3. 设f(x)的一阶导数在[0,1]上连续，f(0)=f(1)=0求证： |∫01f(x)dx|≤|f’(x)|

设f(x)的一阶导数在[0,1]上连续，f(0)=f(1)=0求证： |∫01f(x)dx|≤|f’(x)|

admin2022-10-08  48
问题 设f(x)的一阶导数在[0,1]上连续，f(0)=f(1)=0求证：
|∫01f(x)dx|≤|f’(x)|
选项
答案由题设可知,f(x)在[0,1]上满足拉格朗日中值定理，于是有 f(x)=f(x)－f(0)=xf’(ξ1)，ξ1∈(0,x) f(x)=f(x)－f(1)=(x－1)f’(ξ2),ξ2∈(x,1) 又∫01f(x)dx=∫0xf(t)dt+∫x1f(t)dt=∫0xf’(ξ1)tdt+∫x1f’(ξ2)(t－1)dt 所以对任意的x∈[0,1]有 |∫01f(x)dx|≤|∫0xf’(ξ1)tdt|+|∫x1f’(ξ2)(t－1)dt| ≤∫0x|f’(ξ1)|t|dt+∫x1|f’(ξ2)|t－1|dt =∫0x|f’(ξ1)|tdt+∫x1|f’(ξ2)|(1－t)dt ≤[*]|f’(x)|[∫0xtdt+∫x1(1－t)dt] =[*]|f’(x)|·[*][x2+(1－x)2] 令x=[*],即得|∫01f(x)dx|≤[*]|f’(x)|.
解析
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考研数学三

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