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设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且f’(0)=0.=-1,则
设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且f’(0)=0.=-1,则
admin
2016-01-23
45
问题
设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且f’(0)=0.
=-1,则
选项
A、f(0)是f(x)的极大值
B、f(0)是f(x)的极小值
C、[0,f(0)]是曲线f(x)的拐点
D、f(0)不是f(x)的极值,点[0,f(0)]也不是曲线y=f(x)的拐点
答案
C
解析
本题考查由已知抽象函数f(x)满足的极限等式条件,判定f(x)在某点的极值、拐点问题,可用赋值法快速求得结果,也可用极限的保号性进行分析.
解1 赋值法.因x→0时,1-e
-x
~x,故题设等式条件亦为
=-1.取f’’(x)=-x,则
f’(x)=
x
2
+C
1
,f(x)=
x
3
+C
1
x+C
2
令C
1
=C
2
=0,则f(x)=
x
3
满足题设条件,以此f(x)考查四个选项,只有(C)选项正确.
解2利用极限的保号性分析求解.
由
=-1及f’’(x)连续可知f’’(0)=0;再由极限的保号性知,存在x=0的某邻域U(0,δ),使得
<0.于是在U(0,δ)内,当x<0时,f’’(x)>0;当x>0时,f’’(x)<0,即点(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点.
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考研数学一
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