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  3. 设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且f’(0)=0．=-1，则

设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且f’(0)=0．=-1，则

admin2016-01-23  17
问题 设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且f’(0)=0．=-1，则
选项 A、f(0)是f(x)的极大值
B、f(0)是f(x)的极小值
C、[0，f(0)]是曲线f(x)的拐点
D、f(0)不是f(x)的极值，点[0，f(0)]也不是曲线y=f(x)的拐点
答案C
解析 本题考查由已知抽象函数f(x)满足的极限等式条件，判定f(x)在某点的极值、拐点问题，可用赋值法快速求得结果，也可用极限的保号性进行分析．
    解1  赋值法．因x→0时，1-e-x～x，故题设等式条件亦为=-1．取f’’(x)=-x，则
    f’(x)=x2+C1，f(x)=x3+C1x+C2
令C1=C2=0，则f(x)=x3满足题设条件，以此f(x)考查四个选项，只有(C)选项正确.
    解2利用极限的保号性分析求解．
    由=-1及f’’(x)连续可知f’’(0)=0；再由极限的保号性知，存在x=0的某邻域U(0，δ)，使得＜0．于是在U(0，δ)内，当x＜0时，f’’(x)＞0；当x＞0时，f’’(x)＜0，即点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．
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考研数学一

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