2. 考研
  3. 设A为3阶实对称矩阵，α1＝(1，﹣1，﹣1)T，α2＝(﹣2，1，0)T是齐次线性方程Ax＝0的基础解系，且矩阵A－6E不可逆，则 (Ⅰ)求齐次线性方程组(A－6E)x＝0的通解； (Ⅱ)求正交变换x＝Qy将二次型xTAx化为标准形； (Ⅲ)求(A－3E

设A为3阶实对称矩阵，α1＝(1，﹣1，﹣1)T，α2＝(﹣2，1，0)T是齐次线性方程Ax＝0的基础解系，且矩阵A－6E不可逆，则 (Ⅰ)求齐次线性方程组(A－6E)x＝0的通解； (Ⅱ)求正交变换x＝Qy将二次型xTAx化为标准形； (Ⅲ)求(A－3E

admin2019-12-06  59
问题 设A为3阶实对称矩阵，α1＝(1，﹣1，﹣1)T，α2＝(﹣2，1，0)T是齐次线性方程Ax＝0的基础解系，且矩阵A－6E不可逆，则
(Ⅰ)求齐次线性方程组(A－6E)x＝0的通解；
(Ⅱ)求正交变换x＝Qy将二次型xTAx化为标准形；
(Ⅲ)求(A－3E)100。
选项
答案(Ⅰ)因为矩阵A－6E不可逆，所以λ＝6是矩阵A的一个特征值；另一方面，因为α1，α2是齐次线性方程组Ax＝0的基础解系，所以λ＝0是矩阵A的二重特征值，所以A的特征值为0，0，6。 齐次线性方程组(A－6E)x＝0的通解是矩阵A的属于特征值λ＝6的特征向量。因为A为3阶实对称矩阵，因此属于不同特征值的特征向量正交。 设α3＝(x1，x2，x3)T是矩阵A的属于特征值λ＝6的一个特征向量，则 (α1，α3)＝0，(α2，α3)＝0， 解得α3＝(﹣1，﹣2，1)T，所以齐次线性方程组(A－6E)x＝0的通解为kα3，k为任意常数。 (Ⅱ)将向量组α1，α2，α3正交化。令 β1＝α1，β2＝α2－[*]＝(﹣1，0，﹣1)T，β3＝α3， 再将向量组β1，β2，β3单位化。令 [*]， 令[*]， 则二次型xTAx在正交变换x＝Qy下的标准形为6y32。 (Ⅲ)[*] 所以[*]。
解析
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考研数学二

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