设矩阵Am×n的秩为r(A)=m<n,Im为m阶单位矩阵,则下述结论中正确的是( )

admin2018-07-26  46

问题 设矩阵Am×n的秩为r(A)=m<n,Im为m阶单位矩阵,则下述结论中正确的是(    )

选项 A、A的任意m个列向量必线性无关.
B、A的任意一个m阶子式不等于零.
C、若矩阵B满足BA=O,则B=O.
D、A通过初等行变换,必可以化为[ImO]的形式.

答案C

解析 1 由BA=O知A的每个列向量都是齐次方程组Bx=0的解,由题设知A的列向量中有m个是线性无关的,故Bx=0解集合中至少有m个线性无关的解向量,因而Bx=0的基础解系所含向量个数不小于m,即m-r(B)≥m,所以r(B)≤0,故r(B)=0,即B=O.
2 由于r(Am×n)=m,故存在可逆矩阵Pm×n,使得
AP=[Im O]
右乘两端,得

记n×m矩阵Q=P,则有AQ=Im,于是用Q右乘题设等式BA=O两端,得BAQ=O,即BIm=O,亦即B=O.
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