设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Im为m阶单位矩阵，则下述结论中正确的是( )

admin2018-07-26 85

问题设矩阵A_m×n的秩为r(A)=m＜n，I_m为m阶单位矩阵，则下述结论中正确的是( )

选项 A、A的任意m个列向量必线性无关．
B、A的任意一个m阶子式不等于零．
C、若矩阵B满足BA=O，则B=O．
D、A通过初等行变换，必可以化为[I_mO]的形式．

答案C

解析 1 由BA=O知A的每个列向量都是齐次方程组Bx=0的解，由题设知A的列向量中有m个是线性无关的，故Bx=0解集合中至少有m个线性无关的解向量，因而Bx=0的基础解系所含向量个数不小于m，即m－r(B)≥m，所以r(B)≤0，故r(B)=0，即B=O．
2 由于r(A_m×n)=m，故存在可逆矩阵P_m×n，使得
AP=[I_m O]
用

右乘两端，得

记n×m矩阵Q=P

，则有AQ=I_m，于是用Q右乘题设等式BA=O两端，得BAQ=O，即BI_m=O，亦即B=O．

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考研数学三

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