设有一容器由平面z=0，z=1及介于它们之间的曲面S所围成，过z轴上点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径r(z)=的圆面，若以每秒v0体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的． (Ⅰ

admin2015-05-07 179

问题设有一容器由平面z=0，z=1及介于它们之间的曲面S所围成，过z轴上

点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径r(z)=

的圆面，若以每秒v₀体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的．
(Ⅰ)写出注水过程中t时刻水面高度z=z(t)与相应的水体积V=V(t)之间的关系式，并求出水面高度z与时间t的函数关系；
(Ⅱ)求水表面上升速度最大时的水面高度；
(Ⅲ)求灌满容器所需时间．

选项

答案(Ⅰ)由截面已知的立体体积公式可得t时刻容器中水面高度z(t)与体积V(t)之间的关系是 [*] 其中S(z)是水面D(z)的面积，即S(z)=π[z²+(1－z)²]．现由[*]=v₀及z(0)=0，求z(t) 将上式两边对t求导，由复合函数求导法得 [*] 这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得 S(z)dz=v₀dt，即[z²+(1－z)²]dz=[*] (*) 两边积分并注意z(0)=0，得 [*] (**) (Ⅱ)求z取何值时[*]取最大值．已求得(*)式即 [*] (若未解答题(Ⅰ)，可对题(Ⅰ)告知要证的结论即(**)式两边对t求导得[*]，同样求得上式) 因此，求[*]取最大值时z的取值归结为求f(z)=z²+(1－z)²在[0，1]上的最小值点．由 [*] [*]f(z)在z=1／2在[0，1]上取最小值．故z=1／2时水表面上升速度最大． (Ⅲ)归结求容器的体积，即 [*] 因此灌满容器所需时间为[*](秒)．或由于灌满容器所需时间也就是z=1时所对应的时间t，于是在(**)中令z=1得 [*]

解析

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考研数学一

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