2. 考研
  3. 设A为3阶非零矩阵，且满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中Aij为aij的代数余子式，则下列结论中： ①A是可逆矩阵； ②A是对称矩阵； ③A是不可逆矩阵； ④A是正交矩阵． 正确的个数为( )．

设A为3阶非零矩阵，且满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中Aij为aij的代数余子式，则下列结论中： ①A是可逆矩阵； ②A是对称矩阵； ③A是不可逆矩阵； ④A是正交矩阵． 正确的个数为( )．

admin2021-07-27  105
问题 设A为3阶非零矩阵，且满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中Aij为aij的代数余子式，则下列结论中：
①A是可逆矩阵；
②A是对称矩阵；
③A是不可逆矩阵；  
④A是正交矩阵．
正确的个数为(   )．
选项 A、1
B、2
C、3
D、4
答案B
解析 由aij=Aij(i，j=1，2，3)及伴随矩阵的定义可知A*=AT，那么｜A*｜=｜AT｜，也即｜A｜2=｜A｜，即｜A｜(｜A｜-1)=0．又由于A为非零矩阵，不妨设a11≠0，则｜A｜=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132＞0，故｜A｜=1．因此，A可逆．并且AAT=AA*=｜A｜E=E，于是A是正交矩阵．于是①，④正确，③错误．从题目中的条件无法判断A是否为对称矩阵，故正确的只有2个，选(B)．
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考研数学二

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