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设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0,现有命题 ①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解; ②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解; ③(Ⅰ)的解不一定是(Ⅱ)的解; ④(Ⅱ)的解不一定是(Ⅰ)的解. 其中正确的是( ).
设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0,现有命题 ①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解; ②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解; ③(Ⅰ)的解不一定是(Ⅱ)的解; ④(Ⅱ)的解不一定是(Ⅰ)的解. 其中正确的是( ).
admin
2021-07-27
49
问题
设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组(Ⅰ)A
n
x=0和(Ⅱ)A
n+1
x=0,现有命题
①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解;
②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解;
③(Ⅰ)的解不一定是(Ⅱ)的解;
④(Ⅱ)的解不一定是(Ⅰ)的解.
其中正确的是( ).
选项
A、①④
B、①②
C、②③
D、③④
答案
B
解析
当A
n
x=0时,易知A
n+1
x=A(A
n
x)=0,故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解,也即①正确,③不正确.当A
n+1
x=0时,假设A
n
x≠0,则有x,Ax,…,A
n
x均不为零向量,可以证明这种情况下x,Ax,…,A
n
x是线性无关的(按定义证,依次左乘A
n
,A
n-1
,…,A即可证得).由于x,Ax,…,A
n
x均为n维向量,而n+1个n维向量必定是线性相关的,矛盾.故假设不成立,因此必有A
n
x=0.可知(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解,故②正确,④不正确.故选(B).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/WLy4777K
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考研数学二
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