2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=x1+x2+x3+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3的秩为1，且(0，1，一1)T是二次型矩阵的特征向量。 (Ⅰ)求参数a，b； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，把二次型化为标准形f(x1，x2，x3)；

设二次型f(x1，x2，x3)=x1+x2+x3+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3的秩为1，且(0，1，一1)T是二次型矩阵的特征向量。 (Ⅰ)求参数a，b； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，把二次型化为标准形f(x1，x2，x3)；

admin2017-01-18  55
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=x1+x2+x3+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3的秩为1，且(0，1，一1)T是二次型矩阵的特征向量。
    (Ⅰ)求参数a，b；
    (Ⅱ)求正交变换x=Qy，把二次型化为标准形f(x1，x2，x3)；
    (Ⅲ)求f(x1，x2，x3)的合同规范形。
选项
答案(Ⅰ)二次型的矩阵为A=[*]，二次型的秩为1，从而该矩阵的秩为1，也即 该矩阵各行各列是成比例的，由此可得a=b=1或a=b=一1。 [*] 令x=Qy可将二次型化为f=3y32。 (Ⅲ)f(x1，x2，x3)的正惯性指数为1，负惯性指数为0，因此合同规范形为z12。
解析
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考研数学二

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