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已知4阶矩阵A=(α1，α2，α3，α4)，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．又设β=α1+α2+α3+α4，求AX=β的通解．
已知4阶矩阵A=(α1，α2，α3，α4)，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．又设β=α1+α2+α3+α4，求AX=β的通解．
admin
2018-06-27
77
问题
已知4阶矩阵A=(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)，其中α
2
，α
3
，α
4
线性无关，α
1
=2α
2
-α
3
．又设β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
，求AX=β的通解．
选项
答案
方法一AX=β用向量方程形式写出为x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=β，其导出组为x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=0．条件β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
说明(1，1，1，1)
T
是AX=β的一个特解．α
1
=2α
2
-α
3
说明(1，-2，1，0)
T
是导出组的一个非零解．又从α
2
，α
3
，α
4
线性无关和α
1
=2α
2
-α
3
．得到r(A)=3，从而导出组的基础解系只含4-r(A)=1个解，从而(1，-2，1，0)
T
为基础解系．AX=β的通解为 (1，1，1，1)
T
+c(1，-2，1，0)
T
，c可取任意数． 方法二把α
1
=2α
2
-α
3
和β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
代入x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=β，得 x
1
(2α
2
-α
3
)+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=2α
2
-α
3
+α
2
+α
3
+α
4
， 整理得 (2x
1
+x
2
)α
2
+(-x
1
+x
3
)α
3
+x
4
α
4
=3α
2
+α
4
， 由于α
2
，α
3
，α
4
线性无关，得同解方程组 [*] 解此方程组 [*] 得通解 (0，3，0，1)
T
+c(1，-2，1，0)
T
，c可取任意数．
解析
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考研数学二
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