2. 考研
  3. 已知4阶矩阵A=(α1，α2，α3，α4)，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．又设β=α1+α2+α3+α4，求AX=β的通解．

已知4阶矩阵A=(α1，α2，α3，α4)，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．又设β=α1+α2+α3+α4，求AX=β的通解．

admin2018-06-27  144
问题 已知4阶矩阵A=(α1，α2，α3，α4)，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．又设β=α1+α2+α3+α4，求AX=β的通解．
选项
答案方法一AX=β用向量方程形式写出为x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β，其导出组为x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0．条件β=α1+α2+α3+α4说明(1，1，1，1)T是AX=β的一个特解．α1=2α2-α3说明(1，-2，1，0)T是导出组的一个非零解．又从α2，α3，α4线性无关和α1=2α2-α3．得到r(A)=3，从而导出组的基础解系只含4-r(A)=1个解，从而(1，-2，1，0)T为基础解系．AX=β的通解为 (1，1，1，1)T+c(1，-2，1，0)T，c可取任意数． 方法二把α1=2α2-α3和β=α1+α2+α3+α4代入x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β，得 x1(2α2-α3)+x2α2+x3α3+x4α4=2α2-α3+α2+α3+α4， 整理得 (2x1+x2)α2+(-x1+x3)α3+x4α4=3α2+α4， 由于α2，α3，α4线性无关，得同解方程组 [*] 解此方程组 [*] 得通解 (0，3，0，1)T+c(1，-2，1，0)T，c可取任意数．
解析
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考研数学二

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